初中生必看之一元二次方程的根与系数的关系

slzx2022YuYihan · 2022-08-23 16:04:16 · 个人记录

前言

这个推导过程对初中生还是非常有用的，大家记得收藏！

此篇后续

罗氏求根 一元二次方程的根与系数的关系の后续

入门知识

• (-a)^2 = a^2
• (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}
• \sqrt{a}$中,$a \ge 0
• a^2 = x (x \ge 0)$,那么$a = \pm \sqrt{x}
• (ab)^2 = a^2b^2
• (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
• (\sqrt{a})^2 = a(a \ge 0)
• \sqrt{a^2} = |a| =\begin{cases} a & (a \ge 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}
• \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} (a \ge 0,b \ge 0)
• \sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt {a}}{\sqrt {b}} (a \ge 0,b > 0)

公式推导（看不到的自己去下面找进度条去拉动）

对于一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a,b,c均为常数，且a \ne 0)(任何满足上述要求的一元二次函数都可以转化为ax^2 + bx + c = 0的形式),如果b^2 - 4ac \ge 0,那么:

当然,学过二次函数的也可以这样子推导（我以后写一个二次函数的博客，敬请期待）:

基本公式:

拓展1（可能不算拓展）

· 若b^2 - 4ac > 0,方程ax^2 + bx + c = 0(a \ne 0)有两个不相等的实数根:

· 若b^2 - 4ac = 0,方程ax^2 + bx + c = 0(a \ne 0)有两个相等的实数根:

· 若b^2 - 4ac < 0,方程ax^2 + bx + c = 0(a \ne 0)没有实数根.

拓展2（韦达定理）

已知ax^2 + bx + c = 0(a,b,c为常数,且a \ne 0),如果b^2-4ac \ge 0,求x_1 + x_2和x_1 \times x_2

例题

说了这么多，大家可能觉得在编程方面可能没有什么帮助，所以我加了一道例题，如下：

【NOIP2003初赛完善程序】一元二次方程

【题目描述】 方程ax^2+bx+c=0,要求给出它的实数解.

【输入格式】 三个实数:a,b,c,是方程的三个系数(a \ne 0).

【输出格式】

如果无实数解,则输出 No solution;

如果有两个相等的实数解,则输出其中一个,四舍五入到小数点后面3位;

如果有两个不等的实数解,则解与解之间用逗号隔开,同样要四舍五入到小数点后3位.

【输入样例】

1 2 1

【输出样例】

-1.000

现在这道题目是不是有点water了！

可以直接用拓展1的结论！

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define rep(i,l,r)  for (LL i=(l);i<=(r);++i)
#define per(i,r,l)  for (LL i=(r);i>=(l);--i)
#define fre freopen
using namespace std;
inline LL read(){
    LL s=0,w=1;
    char c=getchar();
    for (;!isdigit(c);c=getchar())  if (c=='-') w=-1;
    for (;isdigit(c);c=getchar())   s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48);
    return s*w;
}
double a,b,c,delta;
signed main(){
    //fre(".in","r",stdin);
    //fre(".out","w",stdout);
    a=read(),b=read(),c=read();
    delta=b*b-4*a*c;
    if (delta>0){
        printf("%.3lf",(-1*b+sqrt(delta))/(2*a));
        printf(",");
        printf("%.3lf",(-1*b-sqrt(delta))/(2*a));
    }
    else    if (abs(delta)<0.0001)  //存在精度误差 
        printf("%.3lf",-1*b/(2*a));
    else
        puts("No solution");
    return 0;
}