理想气体的一些推导

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0 理想气体假设

0.0 宏观角度假设

即满足气体质量一定情况下 pV \propto T，满足 pV = nRT。

0.1 微观角度假设

7 条假设：

  1. 所有分子完全相同，并具有相同的质量。
  2. 所有分子不断完全随机运动。
  3. 容器内分子数目十分庞大。
  4. 分子间的大小比他们之间的距离小得多，可以忽略不计。
  5. 每次碰撞撞击时间比两次碰撞之间的时间间隔短得多，可以忽略不计。
  6. 所有的碰撞都是完全弹性的。
  7. 分子间的作用力可以忽略不计。

1 分子平均动能推导

我们要推导分子的平均动能的表达式。

考虑长度为 L 的立方体，对于任意封闭容器，根据其封闭性其推导过程也同样适用。

考虑单个分子与单面器壁碰撞。其速度为 \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) ，并撞击与 x 轴垂直的容器壁，此时动量变化 \Delta p_x = -2mv_x，作用力的冲量即为 2mv_x。

考虑碰撞发生时间。分子往返一次所需时间为 t = \dfrac{2L}{v_x}, 由冲量定义 I = F \cdot t，单个分子对单个方向平均作用力为

F_x = 2mv_x \cdot \frac{v_x}{2L} = \frac{mv_x^2}{L}

接下来考虑一般的情况。注意到 |\vec v| = \bar{v}，即 \overline{v^2} = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2，同时注意到立方体有两个对立面，所以单个分子对全部器壁的平均作用力为

F_{tol} = 2(F_x + F_y + F_z) = 2(\frac{mv_x^2}{L} + \frac{mv_y^2}{L} + \frac{mv_z^2}{L}) = \frac{2m\overline{v^2}}{L}

接下来计算器壁压强，由 p = \dfrac{F}{A}：

p = \frac{NF_{tol}}{6L^2} = \frac{2Nm\overline{v^2}}{6L^3}

最后使用 V = L^3 化简关系式。

\boxed{ pV = \frac{Nm\overline{v^2}}{3} }

我们将 \dfrac 12 m \overline{v^2} 单独提出。

\frac 12 m \overline{v^2} = \frac{2pV}{N}

由 pV = nRT，单个分子平均动能即为

\boxed{ \text{KE}_{avg} = \dfrac{3RT}{2N_A} }

平板写 markdown 的痛苦又有谁知道呢。