直角梯形面积公式
ccrui
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个人记录
直角梯形面积公式
S_梯ABCD=\frac{x\left ( y+z \right ) }{2}
0.建系
以DA延长线与CB延长线的交点作为原点，以过点O的铅垂线作为y轴，水平线作为x轴
1.求OB
因为AE⊥AB,AB⊥OB,ED⊥AE
所以
\angle OAB=\angle ADE=90\degree-\angle DAE,\angle ABO=\angle DEA =90\degree
所以
△AOB∽△DAE(三垂直:AE⊥AB,AB⊥OB,ED⊥AE,AA相似)
所以有
\frac{AB}{DE} =\frac{OB}{AE}
又
AB=z,AE=x,DE=DC-EC=DC-AB=y-z
所以
OB=\frac{xz}{y-z}
2.求直线OB的解析式
当
x=OB=\frac{xz}{y-z}
时
y=z
又直线OB经过原点
所以直线OB可表示为
y=\frac{y-z}{x} x
3.积分表达式
{\Large \int_{\frac{xz}{y-z} }^{\frac{xz}{y-z}+x } \frac{y-z}{x} x dx }
4.计算
\int_{\frac{xz}{y-z} }^{\frac{xz}{y-z}+x } \frac{y-z}{x} x dx
=\frac{y-z}{x} \left [ \frac{\left ( \frac{xz}{y-z}+x \right )^2 }{2}+c-\frac{\left ( \frac{xz}{y-z} \right )^2 }{2}-c \right ]
= \frac{y-z}{x}\left [ \frac{x^2}{2}+\frac{x^2z}{y-z} \right ]
=\frac{xy-xz}{2}+xz
=\frac{xy+xz}{2}
=\frac{x\left ( y+z \right ) }{2}
\mathbf{@ccrui}\\
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