降维打击

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今天我们继续来聊聊点线面的关系。

异面直线垂直

意面直线？

异面直线所成角

对于两条异面直线a,b，过空间任一点O作直线a'\parallel a, b'\parallel b，我们把a',b'所成的锐角或直角称为异面直线a,b所成的角（或夹角），异面直线所成角的定义是由等角定理保证的。由定义知，异面直线所成角的取值范围是\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)。

异面直线垂直

当两条异面直线a,b所成的角为直角时，我们称这两条异面直线垂直，记作a\perp b。

线面垂直

线面垂直的概念

如果一条直线a与平面\alpha内的任意一条直线都垂直，我们称这条直线与这个平面垂直，记作a\perp\alpha。此时，这条直线称为平面的垂线，这个平面称为直线的垂面，直线与平面的唯一公共点称为垂足。

线面垂直的判定定理

线面垂直的判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号语言表示为

a\subset\alpha,b\subset\alpha,a\cap b=A,l\perp a,l\perp b\Rightarrow l\perp\alpha

推论

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，用符号语言表示为

a\parallel b,a\perp\alpha\Rightarrow b\perp\alpha

线面垂直的性质推理

如果两条直线垂直于同一个平面，那么它们互相平行。用符号语言描述为

a\perp\alpha,b\perp\alpha\Rightarrow a\parallel b

面面垂直

面面垂直的概念

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，那么就称这两个平面互相垂直，记为\alpha\perp\beta。也可以先定义二面角，再定义面面垂直。

面面垂直的判定定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。用符号语言描述为

a\subset\alpha,a\perp\beta\Rightarrow\alpha\perp\beta

面面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。用符号语言描述为

\alpha\perp\beta,\alpha\cap\beta=l,a\subset\alpha,a\perp l\Rightarrow a\perp\beta

三垂线定理

三垂线定理

如果平面内的一条直线如果与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也与斜线垂直。

三垂线定理的逆定理

如果平面内一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么它也与这个斜线在平面内的射影垂直。

好，今天我们就聊到这里。