奇奇怪怪有意思的数学问题

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cos x=2 (x\in\mathbb{C})
  1. 复数域余弦函数的定义

在复数域上，余弦函数可通过欧拉公式表示为：

cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

代入方程 cosx=2，得：

\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=2
  1. 化简方程

两边乘以2：

e^{ix}+e^{-ix}=4

令 y=e^{ix}，则 e^{−ix}=

\frac{1}{y}

方程变为：

y+\frac{1}{y}=4
  1. 解二次方程

将方程两边乘以y：

y^{2}+1=4y\Rightarrow y^{2}−4y+1=0

用求根公式y ={-b \pm \sqrt{b^2-4ac}\over 2a} 解此二次方程：

y={4\pm\sqrt{16-4}\over2} =\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2} =2\pm\sqrt{3} y_1=2+\sqrt{3} ,y_2=2-\sqrt{3}
  1. 回代求解 x:

由y=e^{ix}，对每个 y 取自然对数：

ix=\ln y+2k\pi i(k\in\mathbb{Z})

其中2k\pi i 是复数对数的周期性修正项（因指数函数周期为 2k\pi i）。解得：

x=−i\ln y+2k\pi
  1. 处理两种情况
\phi(y=2+\sqrt{3}) \psi(x=−i\ln(2+\sqrt{3})+2k\pi) \phi(y=2-\sqrt{3})