设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射，若 R_F=Y，即 Y 中任意元素 y 都是 X 中某元素的像，则称 f 为 X 到 Y 的映射或满射；若对 X 中任意两个不同元素 x_1\ne x_2，它们的像f(x_1)\ne f(x_2)，则称 f 为 X 到Y 的单射；若映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为一一映射（或双射）（这里感谢Convergent_Series大佬的指正）。
映射又称算子。根据集合 X,Y 的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。例如，从非空数集 X 到数集 Y 的映射又称为 X 中的泛函，从非空集合 X 到它自身的映射又称为 X 上的变换，从实数集（或其子集）X 到实数集 Y 的映射通常称为定义在 X 中的函数。
如果我们设 f 是 X 到Y 的单射，则由定义，对每个y \in R_f，有唯一的 x \in X，适合f(x)=y。于是，我们可以定义一个从 R_f 到 X 的新映射 g，即：g:R_f\to X，对每个 y \in R_f ，规定 g(y)=x，这 x 满足 f(x)=y。这个映射 g 称为 f 的逆映射，记作 f^{-1}，其定义 D_{f-1} =R_f，值域 R_{f-1} =X。
按上述定义，只有单射才存在逆映射。所以在例1，例2，例3中，只有例3的映射 f 才存在逆映射 f^{-1}，这个 f^{-1} 就是反正弦函数的主值
f^{-1}(x)= \arcsin x,x \in \left[-1,1\right]
，其定义域 D_{f-1}=[-1,1]，值域 R_{f-1} =\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]。
设有两个映射 g:X\to Y_1,f:Y_2 \to Z,其中Y_1 \subset Y_2，则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则，他将每个 x \in X映射成 f[g(x)] \in Z。显然，这个对应法则则确定了一个从 X 到 Z 的映射，这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射，记作 fog ，即 f\circ g:x \to Z,(f\circ g)(x)=f[g(x)],x \in X。(这里感谢jijidawang 大佬的指正）
由复合映射的定义可知映射 g 和 f 构成复合映射的条件是：g 的值域 R_g必须包含在 f 的定义域内，即 R_g \subset D_f。否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射 g 和 f 的复合是有顺序的， fog 与 gof 都有意义，复合映射 f\circ g 与 g\circ f 也必须未必相同。
设有映射 g:R \to [-1,1]，对每个 x \in R,g(x) =\sin x;映射 f:[-1,1] \to [0,1]，对每个 u \in [-1,1]，f(u) = \sqrt{1-u^2},则映射 g 和 f 构成的复合映射 fog:R \to[0,1]对每个 x \in R有 (f\circ g)(x)=f[g(x)]=f(\sin x)=\sqrt{1-sin^2x }=|cos\ x|。
下面是我个人对逆映射和复合映射的了解：
逆映射
对于单射，指的是集合 X 在法则 f 的映射下，对于每一个属于集合 X 元素x，都有唯一一个确定的属于集合 Y 的元素 y 与之对应。
因为元素 x 和元素 y 是一一对应的，那么相反，我们也可以说在集合 X 到集合 Y 的单射中:
对于每一个集合 Y 中的元素 y，都有一个确定的且唯一的集合 X 中元素 x，与之一一对应。
而此时，这种集合 Y 到集合 X 的映射，就叫做逆映射。。。非常简短。。。
复合映射
假设现在有两个映射，一个映射法则是 g，另一个映射法则是 f，而存在 X 集合，Y_2 集合，Z 集合。而又存在 Y_1 集合，是 Y_2 集合的子集。X 集合到 Y_1 集合是按照 g 法则的映射，Y_2 集合到 Z 集合是按照法则 f 的映射。
那么，由 X 集合到 Z 集合通过法则 g 和 f 复合而成的新的法则的映射，就叫做复合映射。
而此时这个复合映射记作 f^g
通过这个过程我们可以知道:
本质上，是每一个 x 元素对应的唯一确定的 y_1 元素又对应了唯一确定的 z 元素，因此 x 元素就与这个唯一确定的 z 元素也有了对应关系，而此时集合 X 到集合 Z 也就有了映射，这种映射就叫做复合映射。
详细过程:(如若前文理解，下文可忽略)
对于每一个属于 X 集合的元素 x，通过映射法则 g，都有 Y_1 集合的唯一确定的 y_1 元素与之对应，
而在 Y_2 集合通过 f 法则向 Z 集合的映射中，对于 Y_2 集合的每一个元素 y_2，都有 Z 集合的唯一确定的元素 z 与之对应，
总结一下，对于每一个属于集合 X 的元素 x，通过映射法则 g，对应到了 Y_1 集合的唯一确定的 y_1 元素，也同时能映射到 Y_2 集合的唯一确定的 y_2 元素，而 Y_2 集合的每一个元素 y_2，都通过映射法则 f，对应到了 Z 集合唯一确定的 z 元素，所以，对于集合 X 的每一个元素 x，通过映射法则 f 和 g 的复合，都有集合 Z 的唯一确定的元素 z 与之对应，这个由集合 X 到集合 Z 的映射，叫做复合映射。