矩阵表示

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前言：以下知识都是我新学的，可能有很多不对的地方，恳请各位赐教

有一个矩阵，设它长宽分别为n,m，里面每个元素均为实数

考虑把它表示成一个实数

根据分解质因数的知识，每个整数都能唯一地分解成若干个质数的若干次方的积

那么可以给矩阵的每个位置按某种顺序唯一赋予一个3之后的质数，总共有n\cdotm个

设矩阵某个位置里的数为ai，被赋予的质数为bi 然后这个矩阵就可以用下面的数代表

N=2^n\cdot3^m\cdot\ {b_i}^{a_i}\cdot...（i=1,2,3...n）

现在考虑它的个数

首先，矩阵中每个位置是实数，则每个位置有2^{\aleph_0}种可能,总共有n\cdotm项，而n\cdotm是整数，则总共有\aleph_0项

根据已有知识，设a,b为任意整数，因为a^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0+b} 则把N的每一项替换成2^{\aleph_0},意思就是每个位置有这么多种可能，则总共有\aleph_0个2^{\aleph_0}相乘

总数为

2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}

但是我上面N是个整数，整数个数是\aleph_0,但上面又算出来是2^{\aleph_0} 问题在哪呢。

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换一个角度，把矩阵想象成一个底面，每个位置上的数值为该位置上的高度，则一个矩阵形成了一个三维的立体物体1，但是底面是整数，并不连续。所以应该是“物体”

若是要表示该物体中任意一点，则可用唯一一个三元数对表示，即（x,y,z），x,y是整数，z是实数。那么该物体中点的个数一个是x的个数乘上y的个数乘上z的个数

即\aleph_0\cdot \aleph_0 \cdot 2^{\aleph_0}= 2^{\aleph_0}个

但如果我们当它是连续的，成了一个真正的三维物体2，那他点的个数也应当是2^{\aleph_0}个，那么与不连续时相等。

这似乎有些奇怪。我明明把它其中两维从实数缩为了整数，为何不变。我们想想如何证明。

要比较无穷的个数，看看一一对应。想一想如何把物体2中每一个点对应到物体1中每一个点。

我们可以这样想，先考虑底面的对应。可以把每一个x,y任一不为整数的点，找到一个离他欧几里得距离最近的x,y均为整数的点。这样每一个x，y均为整数的点都会对应到最多有2^{\aleph_0}个x,y不全是整数的点。

然后再考虑第三维上的z，此时就相当要把2^{\aleph_0}\cdot2^{\aleph_0}个点对应到2^{\aleph_0}个点上，这是非常容易的，先把2^{\aleph_0}\cdot2^{\aleph_0}个点排成2^{\aleph_0}* 2^{\aleph_0}的矩阵，直接从左上角开始蛇形向右下角遍历即可，由此，达成一一对应。

我们回顾一下，我们把原本不可能一一对应的整数和实数扩展一维后，找到了一一对应。其过程不可不谓之精妙。无穷的世界就是如此奇妙。

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考虑无理数的个数。

我们知道无理数可以用区间套理论来定义，而定义一个无理数的区间套是可数无穷个的，即\aleph_0个。

那么无理数的个数，可不可以看成是所有不同区间套的个数，虽然区间套最后可能取出来是个有理数，但是有理数个数为\aleph_0个，且在实数中任取出有理数的概率为0，因此不用管他。

那么来考虑所有区间套的个数，假设就考虑0到1内。先取第一个区间左右端点a1=0,b1=1，（其实这个取不取都一样...），然后在里面取第二个区间，此时的a2有2^{\aleph_0}个选择，b2也是。则第二个区间就有$2^{\aleph_0}\cdot2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}

用乘法原理就知道总共有${\aleph_0}^{2^{\aleph_0}}=2^{2^{\aleph_0}}$个区间套 但是我们知道无理数的个数等于$\aleph_1$，而$\aleph_1$应该在$[\aleph_0,2^{\aleph_0}]$之间，我们又怎么算出来等于$2^{2^{\aleph_0}}$呢，哪里有问题？