并不对劲的LCT

· · 题解

LCT，是连猫树（link-cat-tree）的缩写。它是树链剖分和splay的结合版本。

由于有很多关于LCT的文章以及这并不是对劲的文章，并不对劲的人并不打算讲得太详细。

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并不对劲的片手流－＞——

想必大家都知道splay+树剖=LCT

splay虽然常数较大，但是它好写好调（大部分操作都可以把左右边界转上去然后直接操作），而且还能维护序列。

树剖是将一棵树切分成很多条链，再将它们首尾相接拼成一个序列。可以用线段树来维护序列，进行区间操作，不过并不能插入和删除。

那么用splay来维护区间是不是就可以插入和删除了呢？想必是可以的。但是插入和删除会导致子树大小有变化，这样轻重链剖分就不适用了。不过，和splay类似地，虽然听上去很玄学，但是期望复杂度是可以被证明为log级别的；和splay类似地，并不对劲的人并不会证明。

讲讲几个操作吧：

1.上/下传标记，判断是左/右儿子

void mark(int u){if(u)swap(ls,rs),re[u]^=1;}
void pu(int u){sum[0]=0,sum[u]=sum[ls]^sum[rs]^key[u],sum[0]=0;}
void pd(int u){if(re[u])mark(ls),mark(rs),re[u]=0;}
int getso(int u){return son[fa[u]][0]==u?0:1;}

和splay没什么区别。为了防止不小心pushup(0)，pushup时可以在计算前后都强行令sum[0]=0。

总结push up&down出现的地方：

pushup：rotate，access（从下往上）；

pushdown：splay，getroot（从上往下）；

2.判断一个点是否为splay的根

int notrt(int u){return son[fa[u]][0]==u||son[fa[u]][1]==u;}

splay直接判断有没有父亲（我）。但是LCT是由很多棵对应一条重链的splay组成的。这样【同一树的不同splay】为了与【同一splay（父、子关系都有）】和【不同树（父、子关系都没有）】区分，是有【认父（我）不认子（你）】的规定。也就是说，splay的根可能有父亲（我），但是它的父亲（我）未必认它这个儿子（你）。

3.旋转（rotate）

void rot(int u)
{
    int fu=fa[u],ffu=fa[fu],l=getso(u),fl=getso(fu),rson=son[u][l^1];
    if(notrt(fu))son[ffu][fl]=u;son[fu][l]=rson,son[u][l^1]=fu, fa[rson]=fu,fa[u]=ffu,fa[fu]=u;
    pu(rson),pu(fu),pu(u),pu(ffu);
}

和splay区别不大。但是被旋转点u的祖父可能和u不在同一棵splay上，要判断旋转点的父亲是不是根。

4.伸展（splay）

void splay(int u)
{
    int v=u;top=0,st[++top]=v;while(notrt(v))st[++top]=v=fa[v];
    while(top)pd(st[top--]);
    while(notrt(u)){int fu=fa[u];if(notrt(fu))rot(getso(u)^getso(fu)?u:fu);rot(u);}
}

在普通的splay中，只有从根走到某个点才能将这个点伸展，这样肯定经过了【根到某点的路径】，那么路径上的所有标记应该已经被下传了。但是LCT中，并不会从根走到那个点。也就是说，那个点上面可能有未下传的标记。所有要先下传【根到某点的路径（是splay的根！！）】上的所有标记再进行下一步。

5.将【根到某点的路径】变成重链（access）

void acs(int u){for(int v=0;u;v=u,u=fa[u])splay(u),rs=v,pu(u);}

无论怎么改重链，它们都会还在同一棵树里，所以不用改父亲（我）。

6.求出某点所在树的根（getroot）

int getrt(int u){acs(u),splay(u);while(u){pd(u);if(!ls)break;u=ls;}return u;}

splay维护的序列中的数的顺序是先走重链的DFS序，所以根在DFS序中肯定比某点靠前。把根和该点放在同一个splay后，splay维护的序列的最前面的那个数就是根。

7.将某点变成根（chroot）

void chrt(int u){acs(u),splay(u),mark(u);}

将该点access后，会发现它恰巧是这条重链的splay对应的序列中最靠后的。而根是最靠前的。所以把序列翻转就行了。

8.求某两点之间路径的和（getroad）

void getrd(int u,int v){chrt(u),acs(v),splay(v);}

让一点为根，使两点在同一条重链上。这时这棵splay维护的序列中最靠前的是根，最靠后的是另一个点，这棵splay就是想要求和的部分。

9.将两点之间连边（link）

void link(int u,int v){chrt(u);if(getrt(v)!=u)fa[u]=v;}

将一个点转到根后判断另一个点的根是不是它。由于getroot是已经将另一个点转到splay的根，直接按【认父不认子】的规则将在树根的点接到在splay根的点上。合并之后这棵树的根是v所在splay的最靠前的点。

10.断开两点之间的边（cat）

void cat(int u,int v){chrt(u);if(getrt(v)==u&&fa[u]==v&&!rs)fa[u]=son[v][0]=0;pu(v);}

还是将一个点转到根。先判断v是不是在以u为根的树上（这时v已经在splay根上了），再判断它们在splay的序列中是否相邻。两条都满足就可以断了，要把父子关系都断干净。splay根的儿子情况改变，所以需要pushup。