数学分析

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一、实数

实数公理

  1. 实数集（\mathbb R）是域（域公理），被称为实数域（记作：(\mathbb R, +, \cdot)，简记为 \mathbb R）.

    域的性质：对实数域有

    2. \exists ! x \in \mathbb R$，$\forall a \in \mathbb R$，有$x + a = a + x = a$，此时称其为**加法单位元**（**加法零元**）记作 $"0"
    3. \forall a \in \mathbb R$，$\exists! b \in \mathbb R$, 使得 $a + b = 0$ 称 $b$ 为 $a$ 的加法逆元，记作 $-a
    7. \exist! x \in \mathbb R \setminus\{0\}$，$\forall a \in \mathbb R$， 使得 $x \cdot a = a \cdot x = a$，称 $x$ 为**乘法单位元**，又叫**乘法幺元**，记作 $"1"
    8. \forall x \in \mathbb R \setminus \{ 0 \}$，$\exists! y \in \mathbb R \setminus \{ 0 \} $，使得 $x \cdot y = y \cdot x = 1$，称y为x的逆元，记作 $x^{-1}
  2. 实数集有序

  3. 实数完备性（连续性）

    我们把以下定理当做实数完备性定理：

    0.戴德金原理 Dedekind completenes

    以下还有关于连续性的基本定理：

    1.确界存在原理 least-upper-bound property 2.单调有界原理 monotone convergence theorem 3.闭区间套定理 nested intervals theorem 4.有限覆盖定理 Heine-Borel theorem 5.聚点定理 Bolzano-Weierstrass theorem 6.致密性定理 Bolzano-Weierstrass theorem 7.柯西收敛原理 Cauchy completeness 8.介值原理 intermediate value theorem 9.连通性原理 connectedness of reals 还有实数的重要性质 10.阿基米德性质 Archimedean property

命题逻辑关系

0 \iff 1 \iff 2 \iff 3 + 10 \iff 4 \iff 5 \iff 6 \iff 7 + 10 \iff 8 \iff 9 3 \iff 9

戴德金分割定理

现表述戴德金定理的内容：

  1. 戴德金原理

对 \forall A, B \subseteq \mathbb R，A \ne \emptyset ，且 B \ne \emptyset，若对 \forall a \in A \forall b \in B，有 a \le b，则 \exists c \in \mathbb R，使得 a \le c \le b

\iff \forall A, B \subseteq \mathbb R$，$A \ne \emptyset$ ，且 $B \ne \emptyset$，若 $A \cup B = \mathbb R$，且 $\forall a \in A \forall b \in B$，有 $a \le b$，则$\exists c \in \mathbb R$，使得 $a \le c \le b

有界集和确界

有界

若存在 $M \in R$，使得 $\forall x \in E$，$x \le M$，称 $E$ 是有**上界的**， $M$ 为 $E$ 的一个**上界**; 若存在 $m \in R$，使得 $\forall x \in E$，$x \le M$，称 $E$ 是有**下界的**， $M$ 为 $E$ 的一个**下界**; $E$ 既有上界又有下界则称 $M$ 是**有界**的. 显然，$E$ 有界 $\iff$ $\exists M > 0$ ， $\forall x \in E$， 有 $|x| \le M

确界

若 $\exists M \in \mathbb R$ 满足: (1). M 为 E 的一个上界，即 $\forall x \in E$ ，有 $x \le M$; (2). $\forall \epsilon > 0 \exists x' \in E, x' > M - \epsilon

称 M 为 E 的上确界，记 M = \sup E = \sup \limits _{x \in E} \{x\}

若 \exists m \in \mathbb R 满足:

(1). m 为 E 的一个下界，即 \forall x \in E ，有 x \ge m;

(2). \forall \epsilon > 0 \exists x' \in E, x' < m + \epsilon

称 M 为 E 的上确界，记 M = \inf E = \inf \limits _{x \in E} \{x\}

  1. 确界存在定理 非空有上界的实数集必有上确界，非空有下界的实数集必有下确界

    设 $E$ 为非空有上界的实数集.若 E 中存在最大数 M 时，则 $$ \sup E = \max E = M $$ 假设 E 中没有最大数，对 $\mathbb R$ 作分划： B 是由 E 的所有上界所组成的集合，而 $ A = \mathbb R \setminus{B}, \left. \begin{array}{l} E 的有界 \implies B \ne \emptyset \\ E \ne \emptyset \implies A \\ \forall a \in A, b \in B, a < b, A 中无最大数 \\ \end{array} \right\} \implies (A | B) 是 \mathbb 的一个分划 \implies \\ B 中存在最小数 M, 即 M = \sup E.\vartriangleleft

一些不等式

$\forall x \ge -1 \forall n \in \mathbb N^*$，$ (1 + x)^n \ge 1 + nx$（伯努利不等式） $\vartriangleright

对于 n = 1，显然成立。假设 n = k 时，成立，则对 n = k + 1 时，有

\begin{aligned} (1 + x) ^ {k + 1} &= (1 + x) ^ {k} (1 + x) \\ &\ge (1 + k x) (1 + x) \\ &= 1 + (k + 1)x + kx^2 \\ &\ge 1 + (k + 1)x.\pod{当且仅当 x = 0 时等式成立} \end{aligned} \\

则对 \forall n \in \mathbb N^*，不等式对一切正整数 n 成立. \vartriangleleft

\forall n \in \mathbb N ^ *$，$a_i \ge 0 \pod {i = 1, 2 ... n}$ 有 $\sqrt[n] {\prod \limits ^{n}_{i = 1} a_i} \le \frac{\sum\limits_{i = 1}^na_i}{n}. 设$n = k$时，不等式成立，当$n = k + 1时$，$ a_{k + 1}\xlongequal{\Delta} \max\limits^{k + 1}_{i = 1}a_i $，$y \xlongequal {\Delta} \frac{\sum\limits^{k}_{i=1}a_i}{k}$，则$a_{k + 1} \ge y \ge \sqrt[k - 1]{\prod \limits _{i = 1} ^ {k - 1} {a_i}}

从而有

\begin{aligned}(\dfrac{\sum \limits _{i = 1} ^ {k + 1}a_i}{k + 1}) ^ {k + 1} &= (y + \dfrac{x_{k + 1} - y}{k + 1}) ^ {k + 1} \\ &= y ^ {k + 1} + (k + 1)y^k\frac{x_{k + 1} - y}{k + 1} + \dots + (\dfrac{x_{k + 1} - y}{k + 1}) ^ {k + 1} \\ &\ge y ^ {k + 1} + (k + 1)y^{k}\frac{x_{k + 1} - y}{k + 1} \\ &= y^{k}x_{k + 1} \\ &\ge \prod\limits_{i = 1}^{k + 1} a_i \end{aligned}

即有 \sqrt[n] {\prod \limits ^{n}_{i = 1} a_i} \le \frac{\sum\limits_{i = 1}^na_i}{n}，不等式对一切正整数 n 成立. \vartriangleleft

二、序列极限

序列是一个函数 f:\mathbb N^* \to \mathbb R，常记为 \{x_n\}，x_n 称为通项，也将构成一个序列所有数的集合记为 \{x_n\}，此时 \{x_n\} = f(\mathbb N).

序列极限定义

设 \{x_n\} 为一个序列. 若 \exists a \in \mathbb R \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb N ，当 n > N 时，有 |x_n - a| < \epsilon ，称该序列是收敛的，并称 a 为该序列的极限，或称序列 \{x_n\} 收敛于 a，记作 \lim \limits _ {n \to \infty} x_n = a 或 x_n \to a \pod{n \to \infty}. 若不存在，则称之为发散序列.

无穷小量

序列 \{x_n\} . 若 x_n \to 0 \pod{n \to \infty} ，则称序列 \{x_n\} 为无穷小量，记为 x_n = o(1) \pod {n \to \infty}.

无穷小量的基本性质：

序列 {x_n}

(1) x_n = o(1) \pod {n \to \infty} \iff |x_n| = o(1) \pod {n \to \infty}

(2) x_n = o(1) \pod {n \to \infty} ， M 是一个常数 \iff Mx_n = o(1) \pod {n \to \infty}

(3) x_n - a = o(1) \pod {n \to \infty} ，\iff \lim \limits _{n \to \infty}

无穷大量

序列 \{x_n\} .

\forall M > 0 \exists N \in \mathbb N^*$ ，当 $n > N$ 时，有 $x_n > M$ ，则称 $\{x_n\}$ 为正无穷大量，也称 $\{x_n\}$ 的极限为 $+\infty$，记 $\lim \limits x_n = + \infty \forall m < 0 \exists N \in \mathbb N^*$ ，当 $n > N$ 时，有 $x_n < m$ ，则称 $\{x_n\}$ 为负无穷大量，也称 $\{x_n\}$ 的极限为 $-\infty$. 记 $\lim \limits x_n = - \infty \{\left|x_n\right|\}$ 是正无穷大量，则称 $\{x_n\}$ 为无穷大量，也称 $\{x_n\}$ 的极限为 $\infty$. 记 $\lim \limits x_n = \infty

函数收敛

序列有有穷极限 a 时，说它收敛于 a； 序列有无穷极限 a 时，说它发散到 \infty, +\infty 或 -\infty 极限存在指有穷极限，包括无穷极限说其广义极限存在，序列是广义收敛的

无穷大量和无穷小量的关系

定理：{x_n} 是无穷小量 \iff \left{\dfrac{1}{x_n}\right} 是

三、函数

对集合 X \subseteq \mathbb R，存在某种对应法则 f，\forall x \in X \exists! y \in \mathbb R 与之对应，称对应法则 f 为从 X 到 \mathbb R 的一个函数，记作 f(x)

\begin{aligned}f : X & \to \mathbb R \\ a &\mapsto y f(x) \end{aligned}

称 y 为f在点x的值，X 为函数 f 的定义域，数集 \{f(x)| x \in X \} 称为函数 f 的值域，记作f(X)；x 称作自变量，y 称作因变量.

设 y = f(x) 是定义在 X 上的一个函数，称平面点集 \{\left( x, y\right)| y = f(x), x \in X \} 称为该函数的图像.

初等函数

称

  1. 常值函数 y = C
  2. 幂函数 y = x ^ \alpha \pod {\alpha > 0}
  3. 指数函数 y = a ^ x \pod {a > 0, a \ne 1}
  4. 对数函数 y = \log _ a x \pod{a > 0, a \ne 1}
  5. 三角函数 y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x, y = \sec x, y = \csc x
  6. 反三角函数 y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \arctan x, y = \arccot x, y = \arccsec x, y = \arccsc x

为基本初等函数

初等函数构造方法

1. 函数的四则运算

设 y = f_j(x), x \in X_j \subseteq R \pod{j = 1, 2} 为两个已知函数，且 X = X_1 \cap X_2 \ne \emptyset，

有

\begin{aligned} &(f_1 \pm f_2) (x) = f_1(x) \pm f_2(x), \quad x \in X; \\ &(f_1 f_2) (x) = f_1(x) f_2(x), \quad x \in X; \\ &\frac{f_1}{f_2} (x) = \frac{f_1(x)}{f_2(x)} \pod{f_2(x) \neq 0}, \quad x \in X. \end{aligned}

2. 函数的限制和延拓

### 3. 函数的复合 设 $y = f_j(x), x \in X_j \subseteq R \pod{j = 1, 2}$，若$Y_1 = f_1(X_1) \subseteq X_2$，则定义在 $X_1$ 上的函数 $y = f_2(f_1(x))$ 称为 $f_1$ 和 $f_2$ 的**复合函数**，记作 $f_2 \circ f_1 : X_1 \to \mathbb R$，称 $f_1$ 为该复合函数的**内函数**， $f_2$ 为**外函数**. #### 4. 反函数 单射：$f: X \to Y, \forall x_1, x_2 \in X, x_1 \ne x_2,

满射：f: X \to Y, Y = f(X)

双射：单射满射的函数

设 f:X \to Y 是一个双射，定义 g: Y \to X，对 \forall y \in Y, g(y) 由 y = f(x) 所唯一确定的 x \in X.这样定义的 g(y) 成为 f(x) 的反函数，记作 g = f^{-1}

函数的性质

有界性

若 $\exists M \forall x \in X$，都有 $f(x) \le M $，称 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界， $M$ 为 $f(x)$ 的上界； 若 $\exists m \forall x \in X$，都有 $f(x) \ge m $，称 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界， $m$ 为 $f(x)$ 的下界； 若 $f(x)$ 既有上界又有下界，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有界. 若 $\forall x \in X$ 有 $\vert f(x) \vert \le M$， 则称 $M$ 为 $f(x)$ 的一个界。 若 $f(x)$ 不是 $X$ 上的有界函数，则称 $f(x)$ 无界. #### 单调性 $y = f(x)$ 为定义在 $X$ 上的一个函数. 若 $\forall x_1, x_2 \in X$，$x_1 < x_2 \iff f(x_1) \le f(x_2)(f(x_1) \ge f(x_2))$，则称 $f(x)$ 是在 $X$ 上**单调上升（下降）**或**单调递增（递减）函数**. 将 $\le$ 或 $\ge$ 换成 $<$ 或 $>$，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上**严格单调上升（下降）函数**. 单调上升函数和单调下降函数统称为**单调函数**. #### 周期性 $y = f(x)$ 为定义在 $X$ 上的一个函数. 若 $\exists T > 0 \forall x in X$，有 $f(x + T) = f(x)$，则称 $f(x)$ 为**周期函数**，$T$ 称为 $f(x)$ 的一个**周期**. 若存在一个最小的周期 $T_0$，则称 $T_0$ 为 $f(x)$ 的最小正周期. #### 奇偶性 $y = f(x)$ 为定义在 $X$ 上的一个函数，$X$ 关于原点对称. $(x \in X \iff -x \in X) $f(x) = f(-x), \forall x \in X$ 称 $f(x)$ 是 $X$ 上的**偶函数**； ### 初等函数 由基本初等函数有限次的加、减、乘、除和复合运算所得到的所有函数统称初等函数.