欧拉函数 + 线性求法
枫林晚
2018-04-25 18:59:58
### 欧拉函数：
在数论，对正整数n，欧拉函数是**小于n的正整数中与n互质的数的数目**（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler'so totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
### 求法：
①基本公式：φ(n)=n×Π(p|n且p为质数)(1-1/p)
证明：
对于因子p，n以内所有p的倍数的数有n/p个。
利用容斥，有因子p1,p2时，n以内互质的数的个数是：n-n/p1-n/p2+n/(p1×p2)=n(1-1/p1-1/p2+1/(p1×p2)=n(1-1/p1)(1-1/p2)
以此类推可以推出公式。
利用质因数分解可以n^1/2求出来
②性质：
1.若a为质数,φ[a]=a-1;
证明显然
2.若a为质数,a mod b=0,φ[a×b]=φ[b]×a
证明：
因为所有a的因子都是b的因子，所以在φ[b]基础上乘a即可。（考虑公式）
3.若a,b互质,φ[a×b]=φ[a]×φ[b]
(当a为质数时,if b mod !=0 ,φ[a×b]=φ[a]×φ[b])
证明：a的质因子和b的质因子没有相同的，而ab的质因子必然在a、b中出现过，所以直接相乘就可以，（考虑公式）
线性求euler
```cpp
int m[n],phi[n],p[n],nump;
//m[i]标记i是否为素数,0为素数,1不为素数;p是存放素数的数组;nump是当前素数个数;phi[i]为欧拉函数
int make()
{
phi[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!m[i])//i为素数
{
p[++nump]=i;//将i加入素数数组p中
phi[i]=i-1;//因为i是素数,由特性得知
}
for (int j=1;j<=nump&&p[j]*i<n;j++) //用当前已的到的素数数组p筛,筛去p[j]*i
{
m[p[j]*i]=1;//可以确定i*p[j]不是素数
if (i%p[j]==0) //看p[j]是否是i的约数,因为素数p[j],等于判断i和p[j]是否互质
{
phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j]; //性质2
break;
}
else phi[p[j]*i]=phi[i]*(p[j]-1); //互质,性质3，其中p[j]-1就是phi[p[j]]
}
}
}
```