喵喵喵 III
Ruiqun2009
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个人记录
打完比赛对完答案被人说 He's so Chinese 笑不活了。
Part A
A1-A4 宝宝题，不讲。
A5 两个筒的底面周长已知，所以可以算出半径。根据 Phytagorean theorem 计算高。解方程即可。答案：\boxed{\sqrt\frac{20}{21}\pi}
A6 定义一个数的贡献为它的分段数减去 1。例：13034041 的贡献是 2。
注意到每个 n 位数 (n\ge 3) 都可以通过添加 0-9 的方式构建一个 n+1 位数（标 n\ge 3 是为了暴力求小 case 简化计算）。那么在这 9\times10^{n-1} 个 n 位数里面，需要结尾是 0，并且添加的数字为 1-9，才能让贡献 +1。统计这样的贡献可以得到 81\times10^{n-2}。
全部加起来（n=3\dots 7）再加上 9\times10^7 得到答案 \boxed{98999910}。
Part B
B1,B2(a) 宝宝题，不讲。
B2(b) 用 \tan 和角公式，\tan\angle RPQ=7，得到答案 \boxed{25}。
B2(c) 通过构造 \angle YXZ 的角平分线，使用两次角平分线定理+角平分线长定理算出 WY=\frac{25}8\sqrt{10}。再使用相似得到答案 \boxed{(\frac{81}8,\frac{117}8)}。
B3(a) 宝宝题，不讲。
B3(b) 假设 b_n=a\times g^{n-1}。首先观察到：
\begin{aligned}
c_2&=a\\
c_3&=a(a+g)
\end{aligned}
于是我们断定 t=a+g。接下来是归纳过程：假设 c_{n-1}=a(a+g)^{n-3} 对所有 \le n 成立。
\begin{aligned}
c_n&=b_{n-1}+ab_{n-2}+\sum_{i=1}^{n-3}b_ic_{n-i}\\
&=ag^{n-2}+a^2g^{n-3}+\sum_{i=1}^{n-3}a^2(a+g)^{n-2-i}g^{i-1}\\
&=a(a+g)(g^{n-3}+a\sum_{i=1}^{n-3}(a+g)^{n-3-i}g^{i-1})\\
&=a(a+g)(g^{n-3}+a\sum_{i=1}^{n-3}g^{i-1}\sum_{j=0}^{n-3-i}\binom{n-3-i}{j}a^jg^{n-3-i-j})\\
&=a(a+g)(g^{n-3}+a\sum_{i=1}^{n-3}\sum_{j=0}^{n-3-i}\binom{n-3-i}{j}a^jg^{n-j-4})\\
&=a(a+g)(g^{n-3}+\sum_{j=0}^{n-4}a^{j+1}g^{n-j-4}{\color{red}\sum_{i=1}^{n-3}\binom{n-3-i}{j}})\\
&=a(a+g)(g^{n-3}+\sum_{j=0}^{n-4}a^{j+1}g^{n-j-4}{\color{red}\binom{n-3}{j+1}})\\
&=a(a+g)(\sum_{j=0}^{n-3}\binom{n-3}{j}a^jg^{n-3-j})\\
&=a(a+g)^{n-2}
\end{aligned}
Q.E.D. 标红的部分使用了 Hockeystick's Identity。
B3(c) 假设 b_n=a+d(n-1)。注意到
\begin{aligned}
c_n&=b_1c_{n-1}+\sum_{i=2}^{n-1}b_ic_{n-i}\\
&=ac_{n-1}+\sum_{i=1}^{n-2}b_{i+1}c_{n-i-1}\\
&=ac_{n-1}+\sum_{i=1}^{n-2}(b_i+d)c_{n-i-1}\\
&=ac_{n-1}+d\sum_{i=1}^{n-2}c_{n-i-1}+\sum_{i=1}^{n-2}b_ic_{n-i-1}\\
&=(a+1)c_{n-1}+d\sum_{i=1}^{n-2}c_{n-i-1}\\
&=(a+1)c_{n-1}+d\sum_{i=1}^{n-2}c_i
\end{aligned}
代入四个给定的 c 值，设 k=\sum_{i=1}^{2023}c_i，得到一个关于 a,d,k 的三元方程组，解出 a,d 即可。答案：\boxed{-6075}