初中数学笔记
第负一章 前言
俗话说的好：“要想 OI 学的好，初中数学少不了。”现在洛谷只有高中的数学笔记，网上也没有可以开袋即食的初中数学笔记，趁着刚学完抓紧写一发。本文为作者从网上搜集的资料整合而成。
文中的部分公式是以图片形式给出的，可能有点慢。
如果作者的粉丝数达到
本人才疏学浅，如有错误欢迎指出。
第零章 目录
此外，我会用一些特定的符号来代表初次学习某个知识点的时间（以最新人教版教材为准）：
| 时间 | 符号 |
|---|---|
| 七年级上册 | |
| 七年级下册 | |
| 八年级上册 | |
| 八年级下册 | |
| 九年级上册 | |
| 九年级下册 | |
| 小拓展 |
废话都说完了，我们开始吧！
第一章 数和式 [7]
1.1 实数 [7]
实数的分类
按定义分类：
按正负分类：
说明：
-
-
- 常用正负数表示两种具有相反意义的量，根据实际需要可以任意规定；如若规定向东为正，则向西为负。
- 正整数和
0 称为非负整数，负整数和0 称为非正整数；将正有理数和0 称为非负有理数，将负有理数和0 称为非正有理数；将正实数和0 称为非负数，将负实数和0 称为非正数。
实数的有关概念
有理数和无理数统称实数。
整数和分数统称有理数；无限不循环小数也叫无理数。
说明：
- 判断一个实数是有理数还是无理数，步骤为：一化简、二辨析、三判断
- 所有有理数都能写成满足如下条件的分数的形式：
- 分母不为
0 - 分子、分母都为整数
- 分子、分母互质
- 分母不为
常见的无理数有如下几种：
- 开方开不尽的数，如
\sqrt{114514} （[8.5] ） - 化简后带无理数的数，如
\pi+114514 （[9] ） - 部分三角函数，如
\sin 11\degree （[9.5] ） - 人为构造的无限不循环小数，如
0.114514011451400114514\dots
数轴
数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。
每个实数都都与数轴上的点一一对应。
原点右边的数大于
假设数轴上
相反数
像
性质：
-
a+b=0 \iff a,b 互为相反数 - 如果
a,b 互为相反数，则a,b 关于原点对称 -
a$ 的相反数是 $-a
倒数
乘积为
-
a+b=0 \to \left | a \right |=\left | b \right | -
\left | a \right |=\left | b \right | \iff a=\pm b -
\left | ab \right |=\left | a \right | \times \left | b \right | -
\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |} -
\left | a_1 \right |+\left | a_2 \right |+\dots+\left | a_n \right |=0 \iff a_1=a_2=\dots=a_n=0
有理数的乘方
连续
- 正数的幂一定是正数。即：若
a>0 ，则a^b>0 。 - 负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数。即：若
a<0 ，则a^{2n}>0,a^{2n+1}<0 。 -
- 任何非
0 数的0 次方都是1 。即：n^0=1(n \ne 0) - 一个数等于这个数的
1 次方。即：a^1=a 。 -
此外，次方运算还有一些运算律：
-
a^m \times a^n=a^{m+n} -
(a^m)^n=a^{mn} -
a^m \times b^m=(ab)^m
除法同理。
平方根与立方根（[8.5] ）
如果
与之类似，如果
计算平方根、算术平方根和立方根的例子：
| 平方根 | 算术平方根 | 立方根 | |
|---|---|---|---|
| 无 | 无 | ||
我们主要研究平方根，它有如下性质：
-
-
(\sqrt a)^2=a -
\sqrt {a^2}=\left | a \right |
立方根有如下性质：
- 每个数一定有且仅有一个立方根。
- 一个数和它的立方根同号。
-
\sqrt[3] a=a \iff a=\pm 1 或 0
此外，我们还可以化简一个平方根：
多重符号的化简方法
非常简单，只需记住三点：
- 正号直接去
- 负号一次去一对
- 有正负号（
\pm 或\mp ）只留它一个，其他全去掉
举个例子：化简
- 正号直接去，变成
-(-(-(114514))) 。 - 负号一次去一对，变成
-114514 。
所以原式等于
实数比大小
最基础的方法：如果两个数都在数轴上，那么右边的数比左边大。
作差、作商法：
平方法：如果两个数同号，可以把两个数都平方再比大小。适用于比较两个被开方的数。
实数的运算
这一部分很重要，一定要仔细看。
加减法
两个符号相同的数相加，符号不变，数字部分相加；两个符号不同的数相加，如果绝对值相同为
减法非常简单，转化为一个数加上另一个数的相反数即可。
加法的运算律有：
- 交换律，
a+b=b+a - 结合律，
(a+b)+c=a+(b+c)
运算过程中，加减号也可能表示正负号，注意区分。
乘除法
两数相乘，同号为正，异号为负，绝对值相乘。零乘任何数都为零。
乘法的运算律有：
- 交换律，
a\times b=b \times a - 结合律，
(a \times b) \times c=a \times (b \times c) - 分配律，
a \times (b+c) = a\times b+a\times c
除法和减法类似，除以一个数等于乘这个数的倒数。
一定一定要注意，除数不能为
混合运算
当加减乘除都有时，先算括号，再算乘方，然后算乘除，最后算加减。同级运算间从左往右算。
科学计数法
每个数都能写成唯一的
近似数
一个数的近似数与这个数近似。废话
题目让保留几位小数，就保留几位，最后一位四舍五入。后面的所有
1.2 代数式
代数式
用基本运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。特别地，单独一个数字或字母也是代数式。
基本运算符号有：加减乘除、乘方、开方。代数式里也可以有括号。
代数式必须有意义。其中不能含等于号或不等号。
代数式的格式要求：
- 代数式中，数字和字母相乘的乘号写作
\cdot 或省略。数字和数字则不行。 - 数字在前，字母在后。
- 带分数化假分数。
- 除法写成分数。
- 如果代数式中有加减号，那就把它用小括号括起来。
代数式的值
把所有字母都用数字代替，再进行运算，就能求出代数式的值。
特别地，如果一个代数式的值与另一个代数式的值无关，那么另一个代数式的系数为