模形式的空间结构

· · 算法·理论

第一期：因子和函数卷积恒等式
第二期：Ramanujan Tau 函数的积性

作为模形式系列的第三期，简单总结一下前两期的几个重要结果，首先是维数上界公式，对于正偶数 k 有：

\dim M_k (\varGamma_1) \leq \begin{cases} \lfloor k /12 \rfloor \ , \ k \equiv 2 \pmod{12}\ \\ \lfloor k/12 \rfloor +1 \ , \ \text{otherwise} \end{cases} \quad \texttt{(1)}

然后是 E_2(z) 作为「准模形式」的性质，对于任意 \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\c & d\end{pmatrix} \in \varGamma_1 和 z \in \mathcal H：

E_2(\gamma(z))= (cz+d)^2 E_2(z)-\frac{\text 6 \text i c (cz+d)}{\pi} \quad \texttt{(2)}

最后是 Hecke 算子 T_n 作用于权为 k 的模形式 f(z) 的效果：

\begin{aligned} T_nf(z)&=n^{k-1}\sum_{d\mid n}d^{-k}\sum_{n=0}^{d-1}f\left( \frac{(n/d)z+b}{d} \right)\\ [q^N](T_nf(z)) &=\sum_{d \mid \gcd(n,N)}d^{k-1}[q^{Nn/d^2}]f(z) \end{aligned}\quad \texttt{(3)}

并得到了形如 E_{2k}(z) 之外的一个 Hecke 特征形式 \Delta(z)。

本来这期是想带着 theta 级数与平方和计数问题一起讲的，但是要兼顾严谨与易懂性，内容实在是有些多。平方和问题需要考察同余子群上的模形式，这会更加复杂。这期也将是最后一期只关注全模群 \varGamma_1。好吧话不多说，正式开始。

我们再来考察一下 M_k(\varGamma_1) 的结构，这将证明两件事：

对于一些较小的 k，我们已经验证过整个空间的基可以是 E_4^aE_6^b 这样的形式，并且维数达到了 \texttt{(1)} 的上界。考虑 4a+6b=k 的非负整数解 (a,b) 的数量，发现它刚好也是 \texttt{(1)} 的上界，那我们就会猜测这是 M_k(\varGamma_1) 的基。

:::info[证明]{open} 设 g=E_6^2/E_4^3，我们已经知道 E_6^2 和 E_4^3 是线性无关的，故 g 不是常数。
取 k=12d+r，其中 d 为任意正整数，这里先取 r = 2 做例子。设

h= \sum_{i =0}^{d-1}a_iE_4^{3i+2}E_6^{2(d-i)-1}=(E_4^2E_6^{-1}) \sum_{i=0}^{d-1}a_ig^i (E_4^{-3})^{d-1}

其中 a_i 是一组不全为零的复数，我们要证明 h 不恒为零。这又只需要证明关于 g 的多项式不恒为零。代数基本定理告诉我们方程

\sum_{i=0}^{d-1}a_i z^i=0

有且仅有 d-1 个根（计入重数），且都是复数。而 g 又不是常数，这就证明了 h 不恒为零。
对于 r=0,4,6,8,10 的情况也是一样的，经过整理后都只需要证明关于 g 的非零多项式不恒为零。因此满足 4a+6b=k 的 E_4^a E_6^b 构成了 M_k(\varGamma_1) 的一组基。

:::

现在我们得到了 M_k(\varGamma_1) 空间的一组基，但是这组基的性质并不算好。比如对于 M_{12}(\varGamma_1)，按照前面通用的构造，应该是取 E_4^3,E_6^2 为基。但是这俩的 Fourier 系数都不是积性函数，比较好的一组应该是 \Delta 和 \frac{691}{65520}E_{12}，它们都是正则化 Hecke 特征形式。

那么我们就想知道：是否 M_k(\varGamma_1) 总存在一组正则化特征形式的基呢？首先我们确定了维数公式，不难得到 \dim S_k (\varGamma_1)=\dim M_k(\varGamma_1)-1，更具体地说：

M_k(\varGamma_1)=S_k(\varGamma_1) \oplus \{ cE_k \mid c \in \mathbb C\}

所以我们只需对尖点形式空间 S_k(\varGamma_1) 证明即可，只要给它的特征形式基加入 -\frac{B_{2k}}{4k}E_k 就能得到 M_k 的基。因为对于偶数 k>2，E_k 都是 Hecke 特征形式。

然后需要一个线性代数中的引理：

设 V 为有限维复线性空间，且有内积 \langle \cdot,\cdot\rangle。设 T 是 V 上的自伴算子，则 T 必然可正交对角化。

根据自伴算子的性质 \langle Tx,y\rangle=\langle x ,Ty \rangle，取 V 的一组标准正交基，得到 T 在这组基下表示为 Hermite 矩阵，其共轭转置等于自身，所以可正交对角化。

关于内积如何选取的问题，有一个经典构造是 Petersson 内积。不过它定义于基本域，这个形态不太方便我们处理，所以我们定义的是

\langle f,g \rangle := \int_{-1/2}^{1/2} \left( \int_0^\infty f(x +\text i y)\overline{g}(x + \text i y)y^{k-2}\text dy \right) \text dx\quad \texttt{(4)}

我们这里证明一下 Hecke 算子 T_n 在这个内积上是自伴的。

:::info[Hecke 算子的自伴性]

先设 a_m,b_m 分别为 f(z),g(z) 的 q^m 项系数，然后我们确认 \texttt{(4)} 式的绝对收敛性：f,g 都是尖点形式，Fourier 级数必然绝对收敛，所以只需令 x = 0，证明其绝对收敛值对 y 的积分收敛。而这又可以根据变换 f(-1/z)=z^kf(z) 以及 \text e^{2m\pi \text i (\text i y)}=\text e^{-2m\pi y} 的指数衰减得到。

用 Fourier 级数来表示一下这个内积：

\begin{aligned}\langle f ,g \rangle &=\int_0^\infty \left( \int_{-1/2}^{1/2}\sum_{u,v}a_u \overline{b_v}\text e^{2u\pi \text i(x-y) } \text e^{2v\pi(-x-y)}\text dx\right)y^{k-2}\text dy \\ &=\int_0^\infty \left( \sum_{u,v}a_u \overline{b_v} [u=v]\right) y^{k-2}\text e^{-2\pi y(u+v)}\text dy \\ &=\sum_{m=1}^\infty a_m \overline{b_m} \int_0^\infty y^{k-2}\text e^{-4\pi my }\text dy \\ &=\frac{\Gamma(k-1)}{(4\pi)^{k-1}}\sum_{m=1}^\infty \frac{a_m \overline{b_m}}{m^{k-1}}\end{aligned}

所以要证明自伴性，就只需要证明

\sum_{m=1}^\infty \frac{\overline{b_m}}{m^{k-1}}\sum_{d \mid \gcd(n,m)}d^{k-1}a_{nm/d^2}=\sum_{m=1}^\infty \frac{a_m}{m^{k-1}}\sum_{d \mid \gcd(n,m)} d^{k-1}\overline{b_{nm/d^2}}

先枚举 d \mid n，后枚举 m=td，即为

\sum_{d\mid n}\sum_{t=1}^\infty \frac{\overline{b_{td}}}{t^{k-1}}a_{(n/d)t}=\sum_{d \mid n}\sum_{t=1}^\infty \frac{a_{td}}{t^{k-1}}\overline{b_{(n/d)t}}

左右两式只需做变换 d \mapsto n/d 就能互相转换，这样就得到了证明。

:::

现在我们证明了任意 Hecke 算子 T_n 都可对角化，但还差最后一步。根据 \texttt{(3)} 的第二条我们不难证明 T_nT_m = T_m T_n，而乘法两两交换的 Hermite 矩阵存在一组向量使其共同对角化。

举个例子：S_{24}(\varGamma_1) 是一个二维空间，容易取其一组基 A=(E_4^6-E_4^3E_6^2),B=(E_4^3E_6^2-E_6^4)。可以得到：

T_2 (A) =12696 A-12000B T_2(B)=10584 A-11616 B

可以得到在这组基下，T_2 的特征向量分别为：

v_{1,2}=\frac{-1013\pm\sqrt{144169}}{1000} A+B

对应特征值 \lambda_{1,2}=12 (45 \pm \sqrt{144169})，两个特征值互不相同，所以这组向量必然也是其它 T_n 的特征向量。再乘个常数，就能得到两个线性无关的正则化 Hecke 特征形式，同时也是 S_{24}(\varGamma_1) 的基。

现在，如果已知 f(z) \in M_{24}(\varGamma_1)，它就能表示为 v_1,v_2,E_{24} 的线性组合。且 f(z) 的 q^n 系数也会容易计算（如果 n 没有很大的质因子的话），因为基向量的 q^n 系数都是积性的。

有了以上理论作为基础，我们终于可以对 E_2^k 一般情况的计算做初步分析了。

我们曾利用 \texttt{(2)} 式，将 E_2'(z) 用 E_2^2 和 E_4 来表示。设微分算子 \text D :=\frac{1}{2\pi\text i}\frac{\text d}{\text dz}=q \frac{\text d}{\text d q}，用类似的方法操作，可以得到三条关系：

\operatorname{D}E_2=\frac{E_2^2-E_4}{12} \ , \ \operatorname{D}E_4=\frac{E_2E_4-E_6}{3} \ , \ \operatorname{D}E_6=\frac{E_2E_6-E_4^2}{2} \quad\texttt{(5)}

我们的目标是想要将 E_2^k 表示为 E_2,E_4^a E_6^b 与其若干次 \text D 的线性组合。形式化地，是这个集合中元素的线性组合：

\mathcal D:=\{ \operatorname D^a E_2 \mid a \in \N\} \cup \{ \operatorname D^a (E_4^bE_6^c) \mid a,b,c \in \N\}

然后再将所有 E_4^b E_6^c 的项用 M_{4b+6c}(\varGamma_1) 的正则特征形式基来表示，这样 \operatorname D^a (E_4^bE_6^c) 的系数就是若干积性函数的线性组合了。现在我们用归纳法证明：E_2^a E_4^b E_6^c 必然能表示为 \mathcal D 中元素的线性组合。

对于 a=0 自然成立，对于 a=1 的情况：

\operatorname{D}(E_4^bE_6^c)=bE_4^{b-1}E_6^c \frac{E_2E_4-E_6}{3}+cE_4^bE_6^{c-1}\frac{E_2E_6-E_4^2}{2} \left( \frac{b}{3}+\frac{c}{2}\right)E_2E_4^bE_6^c=\frac{b}{3}E_4^{b-1}E_6^{c+1}+\frac{c}{2}E_4^{b+2}E_6^{c-1}+\operatorname{D}(E_4^bE_6^c)

无论 b,c 是否同时为 0，都是成立的。
接下来假设对 a \leq n-1 成立，证明 a=n 的情况：

\begin{aligned}\operatorname D (E_2^{n-1} E_4^b E_6^c) &=(n-1)E_2^{n-2}E_4^b E_6^c(\operatorname D E_2)+E_2^{n-1}\operatorname{D}(E_4^bE_6^c) \\ &=\left( \frac{n-1}{12}+\frac{b}{3}+\frac{c}{2}\right)E_2^n E_4^bE_6^c \\ &-\frac{n-1}{12}E_2^{n-2}E_4^{b+1}E_6^c-\frac{b}{3}E_2^{n-1}E_4^{b-1}E_6^{c+1} -\frac{c}{2}E_2^{n-1}E_4^{b+2}E_6^{c-1}\end{aligned}

第三行的三项根据归纳假设是 \mathcal D 中元素的线性组合，对于 b,c 为零的情况也成立。又因为对于 f \in \mathcal D 显然有 \operatorname D f\in \mathcal D，所以 E_2^nE_4^b E_6^c 必然也是 \mathcal D 中元素的线性组合。这同时也直接给出了将任意准模形式用 \mathcal D 的线性组合表示的方法。