数学专题第六期：勾股定理

sker114514 · 2023-12-31 09:47:06 · 学习·文化课

勾股定理

1. 历史

对于任意一个直角三角形，设它的两个直角边长分别为 a,b，斜边长为 c，则有公式:

a^2+b^2=c^2

这个定理我们便成为勾股定理，即毕达哥拉斯定理。相传，这个定理是古希腊的数学家毕达哥拉斯所发现的，为了纪念毕达哥拉斯的丰功伟绩，人们在他的家乡建了一座雕像，而雕像的主题就是一个直角三角形，以此纪念他发现勾股定理。

而早在周代，我国数学家也曾发现了勾股定理。《周髀算经》周朝数学家商高的著作，他在书中提到，一个直角三角形的三条边具有“勾三，股四，弦五”的关系，这里的“勾股”指的是直角边，“弦”指的是斜边，所以毕达哥拉斯定理也叫做勾股定理。

2. 证明

历史上曾经有许多大数学家都曾证明了勾股定理，包括有著名的“风车图”、“赵爽弦图”等，这里笔者给出一种证明方法。

如图，可知四个小直角三角形全等，大正方形面积为 c^2，每个直角三角形面积为 \dfrac{ab}{2}，而中间小正方形的边长则为 (b-a)，面积为 (b-a)^2，则有方程：

(b-a)^2+4\times\dfrac{ab}{2}=c^2

化简可得：

b^2-2ab+a^2+2ab=c^2

解得：

a^2+b^2=c^2

3. 第一次数学危机

发现勾股定理后，毕达哥拉斯成为了希腊的著名人物，而当时的希腊科学家们，正在讨论“世界是由什么构成的”这个问题，很多人都知道亚里士多德提出的“水、火、土、气、以太”这个观点，却不知道毕达哥拉斯也发表过观点。作为一个数学家，毕哥认为，“数”是构成宇宙万物的基础，而由于“宇宙是完美的”，所以理所当然的，他认为世界上只存在整数和分数，即可以用来表示世间万物的个数的数。

然而，他这一结论却被他的一个徒弟发现了漏洞。这个徒弟想要利用毕达哥拉斯定理来求边长为 1 的正方形的对角线长度，然而当他求出 c^2=2 时，他发现，没有任何一个整数或分数可以表示 c，他便找到了毕达哥拉斯。然而，毕达哥拉斯的几个狂热门徒发现了这个诚实的徒弟想要“背叛自己的老师”，于是，他们就把这个徒弟扔到了海里。然而，许多人也发现了这个问题，便引发了第一次数学危机。

后来，人们发现，这个 c 是一个无限不循环小数，它既不属于整数也不属于分数，人们给其了一个新的名字：无理数，而 c 则可以表示成 \sqrt{2}，这是我们后来都知道的事了。

4. 勾股数

通过勾股定理，我们可以找到一些整数组合，这些组合中的三个数满足勾股定理，这样的一组数我们称为一组勾股数，即可以构成直角三角形三边的数。如 3,4,5 是一组勾股数， 5,12,13 也是一组勾股数。

找勾股数有一定的方法。我们可以通过公式 a^2+b^2=c^2 来找寻。

步骤：

若 a\bmod2=1，则 b=\dfrac{a^2-1}{2}，c=\dfrac{a^2+1}{2}；
若 a\bmod2=0，则 b=\dfrac{a^2}{4}-1，c=\dfrac{a^2}{4}+1；
若 a^2+b^2=c^2 且 n 为正整数，则(an)^2+(bn)^2=(cn)^2。

5.下期预告

下一期数学专题，我们将跟随 ImNot6Dora(ZhouLuLaoShi)，一起探究 \pi 或 Tree(3) 的奥秘！

完结撒花！

By ImNot6Dora