复数的概念㈠ 作业

一、选择题 1. 在复平面内，给出以下四个说法： ①实轴上的点表示的数均为实数 ②虚轴上的点表示的数均为纯虚数 ③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数 其中说法正确的个数为$\rm(\quad\textcolor{red}B\quad)$ A.$1$ B.$2$ C.$3$ D.$4$ 2. 在下列命题中，正确命题的个数是$\rm(\quad\textcolor{red}A\quad)$ ①两个复数不能比较大小 ②复数$z=i-1$对应的点在第四象限 ③若$(x^2-1)+(x^2+3x+2)i$是纯虚数，则实数$x=±1$ ④若$(z_1-z_2)^2+(z_2-z_3)^2=0$，则$z_1=z_2=z_3$ A.$0$ B.$1$ C.$2$ D.$3$ 二、填空题 3. 给出下列命题： ①若$z∈\mathbf C$，则$z^2⩾0$ ②若$a,b∈\mathbf R$，且$a>b$，则$a+i>b+i$ ③若$a∈\mathbf R$，则$(a+1)i$是纯虚数 ④若$z=-i$，则$z^3+1$在复平面内对应的点位于第一象限 其中正确的命题是$\underline{\qquad\textcolor{red}{3\;4}\qquad}$. 三、解答题 4. 已知复数$Z=(m^2+5m+6)+(m^2-2m-15)i$，当实数$m$为何值时： ⑴$Z$为实数； ⑵$Z$为纯虚数； ⑶复数$Z$对应的点$Z$在第四象限. >解：⑴$m^2-2m-15=0$，解得$x=-3$或$x=5$. >　　⑵$\begin{cases}m^2+5m+6=0\\m^2-2m-15≠0\end{cases}$，解得$x=-2$. >　　⑶$\begin{cases}m^2+5m+6>0\\m^2-2m-15<0\end{cases}$，解得$-3<x<-2$. 5. 已知复数$z=m(m-1)+(m^2+2m-3)i$. ⑴当实数$m$取什么值时，复数$z$是纯虚数？ ⑵若在复平面$\mathbf C$内，$z$所对应的点在第四象限，求$m$的取值范围. >解：⑴$\begin{cases}m(m-1)=0\\m^2+2m-3≠0\end{cases}$，解得$m=0$. >　　⑵$\begin{cases}m(m-1)>0\\m^2+2m-3<0\end{cases}$，解得$-3<m<0$. 6. 若复数$z=(m^2+m-6)+(m^2-m-2)i$，当实数$m$为何值时： ⑴$z$是实数； ⑵$z$是纯虚数； ⑶$z$对应的点在第二象限. >解：⑴$m^2-m-2=0$，解得$m=-1$或$m=2$. >　　⑵$\begin{cases}m^2+m-6=0\\m^2-m-2≠0\end{cases}$，解得$m=-3$. >　　⑶$\begin{cases}m^2+m-6<0\\m^2-m-2>0\end{cases}$，解得$-3<m<-1$. 7. 已知$m$为实数，设复数$z=(m^2+5m+6)+(m^2-2m-15)i$. ⑴当复数$z$为纯虚数时，求$m$的值； ⑵当复数$z$对应的点在直线$x-y+7=0$的下方，求$m$的取值范围. >解：⑴$\begin{cases}m^2+5m+6=0\\m^2-2m-15≠0\end{cases}$，解得$m=-2$. >　　⑵直线$x-y+7=0$的下方是区域$x-y+7>0$. 若复数$z$对应的点在区域$x-y+7>0$内，则$(m^2+5m+6)+(m^2-2m-15)+7>0$，解得$m<-2$或$\displaystyle m>\frac12$.