多面体欧拉定理证明

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对于一个简单多面体，它的顶点数 - 棱长数 + 表面数 = 2（V - E + F = 2）。

前言

在周末作业上看到了多面体欧拉公式，题目要求“写出关系式，用方程组的思想予以说明”，我和 ZXY 巨佬 认为是让我们证明欧拉公式。

我们查阅了一些资料，网上的证明有：把多面体映射到球上、把多面体压成平面等。我们感觉不太合适，想要找出一种更简单的证明，于是：

但是，我们发现不太严谨，于是，在思考、讨论两天后，我与 ZXY 巨佬想出了一种新的证明。

证明

把一个简单多面体分为 n 层使每层有 a_i 个点且 a_1 > 2。

点

显然的，V = \sum \limits_{i = 1}^n a_i。

边和面

### 当 $a_n > 2$ 时 - 一层中：显然的，每一层有 $a_i$ 条边，共 $\sum \limits_{i = 1}^n a_i$ 条边。 - 层与层之间：可以证明，每增加一条边就会出现一个面。 - 上下两面：有两个面。 所以，$E = F + \sum \limits_{i = 1}^n a_i - 2$，$V - E + F = 2$。 ### 当 $a_n = 2$ 时 - 一层中：显然的，每一层有 $a_i$ 条边，但最后一层只有一条边，共 $\sum \limits_{i = 1}^{n - 1} a_i + 1$ 条边。 - 层与层之间：同样，可以证明，每增加一条边就会出现一个面。 - 上下：有一个面。 所以，$E = F + \sum \limits_{i = 1}^{n - 1} a_i + 1 - 1$，点数可以写成 $\sum \limits_{i = 1}^{n - 1} a_i + 2$，$V - E + F = 2$。 ### 当 $a_n = 1$ 时 - 一层中：显然的，每一层有 $a_i$ 条边，但最后一层没有变，共 $\sum \limits_{i = 1}^{n - 1} a_i$ 条边。 - 层与层之间：同样，可以证明，每增加一条边就会出现一个面。 - 上下：有一个面。 所以，$E = F + \sum \limits_{i = 1}^{n - 1} a_i - 1$，点数可以写成 $\sum \limits_{i = 1}^{n - 1} a_i + 1$，$V - E + F = 2$。 --- 综上所述，$V - E + F = 2$。 证毕。 # 后记 姚老师表示：你们是想证明欧拉公式，题目不是的，题目是想让你们根据表格的规律，用方程组解释一下即可。