数学公式

## 第一篇干货&&数学&&正经的博客（非题解）……请留赞！ ## 该公式集合主要是多项式，初中数学等（作者初一）。 ### 二项式定理: $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_{n}^{k}a^kb^{n-k}$$ ### 还有， $$(ax+by)^k=\sum_{p=0}^kC_{k}^p(ax)^p(by)^{k-p}=\sum_{p=0}^k(C_{k}^pa^pb^{k-p})x^py^{k-p}$$ ### 假设我们有一个不超过$n$次的多项式$f$并且我们知道了这个多项式的m个点值对$(x_{i},f(x_{i}))$，并且$m \geq n+1$那么我们有如下公式： $$f(x)=\sum_{i=0}^{m}f(x_{i})\prod_{j \neq i} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$$ ### 费马小定理： $$a^p\mod p=a$$ $$a^{p-1}\mod p=1$$ ### $a^{-b}=\frac{1}{a^b},a^{\frac{x}{y}}=\sqrt[y]{a^x}$ ### 裴蜀（贝祖）定理，就是关于x, y的不定方程ax + by = c有整数解的充要条件是$\gcd(a, b)\mid c$。 ### $\sum_{i=1}^n \frac{m-1}{m^i-1}=1-\frac{1}{m^n}$。 ### $\varphi(x)$表示在 $<x$的整数中与$x$互质的整数的个数。 ### $A^m_n=\prod_{i=1}^m i+m-1$。 ### $C^m_n=\frac{A^m_n}{A^m_m}$。 ### 若某三角形三边长分别为$A,B,C$,且 ### $p=\frac{A+B+C}{2}$ ### 则$S\triangle=\sqrt{p(p-A)(p-B)(p-C)}$。 ### 若有$F(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$,求$F(x),$ ### 得原式=$((((a_nx+a_{n-1})x+......)x+a_2)x+a_1)x+a_0$。 ### 若有$a_1,a_2......a_n$且已知$\frac{a_i}{a_j}(1\le i,j\le n)=q(1>q>0),$ ### 则$a_n=a_i\times q^{n-1}$。 ### 则$\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1(\frac{1-q^n}{1-q})$。 ### $\gcd(a,b)=(b==0)?a:\gcd(b,a \bmod b);$ ### $\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{a*b}{\gcd(a,b)};$ ### $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(1+n)}{2}$ ### $\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ ### $\sum_{i=1}^{n}i^3=(\sum_{i=1}^{n}i)^2$ ### $\forall d$表示任意一个$d.$ ### $\varphi(1)=1,$若$p,q$互质，则$\varphi (p\times q)=\varphi(p)\times\varphi(q).$ ### 若质数$p$是任意$d$的因数，则有$φ(x×p)=φ(x)×p;$否则，有 $\varphi(x\times p)=\varphi(x)\times\varphi(p-1)$. ### $\sum_{d|n} \varphi(d)=n.$ ### 莫比乌斯函数$μ(n)=(n==1)?1:((n==\prod_{i=1}^k p_i)?(-1)^k:0).$ ### $\sum_{d|n}μ(d)=(n==1)?1:0.$ ### $\sum_{d|n}μ(d)=\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^i.$ ### $\sum_{d|n}\frac{μ(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}.$ ### 若$gcd(m,n)==1,μ(mn)=μ(m)μ(n).$ ### 若$gcd(m,n)>1,μ(mn)=0.$ ### $V$球$=\frac{4}{3}\pi r^3$，$S$球$=4\pi r^2$。 ### $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \ln(n)+c(c\approx0.577)$ ### $\ln(n)=log^n_e(e\approx2.718)$ ### $1$到$n$中约有$\frac{n}{\ln(n)}$个质数。 ### 若$d|a$且$d|b$，则$d|ax+by$。 ### $(k\times x^n)\prime=n\times k\times x^{n-1}$ - ### 比较$a^s$和$b^t(\gcd(s,t)>1)$： - ### 比较$a^{\frac{s}{\gcd(s,t)}}$和$b^{\frac{t}{\gcd(s,t)}}$，哪个大，上式哪个就大。 ### 若有数列$a_1,a_2...a_n$，且$(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=(a_n-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})$， ### 则$a_n=An^2+Bn+C$。 ### 列3个方程：$i^2A+iB+C=a_i$求出$A,B,C$。 ### $\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{m-1} i+j = \frac{\prod_{i=0}^m (n+i)}{m+1}$ ### $\sum_{i=0}^{m-1}k+i=\frac{\prod^{k+m}_{i=k}-\prod_{i=k-1}^{k+m-1}}{m+1}$ ### 若$\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}=\frac{1}{a}$，则$a=\frac{\prod_{i=1}^na_i}{\sum_{i=1}^{n}\frac{\prod_{j=1}^na_j}{a_i}}$。 ### 垂直的谔个一次函数的谔个$k$的乘积$k_1\times k_2=-1$。 ### 一次函数$y=kx+b$向左平移$f$个单位，则新的$y=k(x+f)+b$。 ### 向右平移$f$个单位，则新的$y=k(x-f)+b$。 ### 谔次函数$ax^2+bx+c(a\neq0)$的顶点为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，顶点式$a(x-k)^2+h$（注意是$-k$）的顶点是$(k,h)$。 ### $ax^2+bx+c(a\neq0)=0$的解从$\triangle(delta)=b^2-4ac$得来。 ### 若$\triangle>0$，则方程有谔个解$x_1=\frac{-b+\sqrt{\triangle}}{2a},x_2\frac{-b-\sqrt{\triangle}}{2a}$； ### 若$\triangle==0$，则方程只有一个解$x=\frac{-b}{2a}$； ### 若$\triangle<0$，则方程无$\color{red}\text{实数}$解（好像有什么虚数解）； ### 虚数$i=\sqrt{-1}$。 ### 黎曼函数$\zeta(k)=\sum_{i=1}^\infty i^{-k}$。 ### $\sum_{i=1}^\infty i^{-2}=\frac{\pi^2}{6}=\zeta(2)$。 ### 等差数列$a_1,a_2,a_3...a_n$（$n$项，公差$($相同的$a_i+1-a_i(i<n))d$，$a_i=a_1+(i-1)\times a_{i-1}$）的性质： ### 若$\sum_{i=1}^{len_b}b_i=\sum_{i=1}^{len_c}c_i$，则$\sum_{i=1}^ka_{b_i}=\sum_{i=1}^ka_{c_i}(k=len_b=len_c)$，$a_n-a_m=(n-m)d$。 ### $a^{\varphi(n)}\mod n=1.$ $$\lim_{rp→0}rp=k$$ ### 上式的$\lim$表示```limit```，$rp→0$表示$RP$无限接近于$0$，$k$是$RP$的具体值。 ### $\lim_{rp2019-rp2018→0}f(rp2019)+f(rp2018)=\lim_{rp2019→rp2018}f(rp2019)+f(rp2018)$。 ### 如果一个函数关于原点中心对称，那么这个函数叫奇函数。 ### 若奇函数存在最大值和最小值，则其之和为$0$。 ### $a!=\prod_{i=1}^n i$，$0!=1$。 ### $(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i!} \prod_{j=1}^{n-1} (1-\frac{j}{n})$（牛顿二项公式）。 ### 如果上式$n=\infty$，那么$(1+\frac{1}{n})^n=e=\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!}$。 ### 如果$\gcd(a,b)=1,$且$0\leq x,y$，那么$a\times x+b\times y$ 不能凑出来的最小值是$a\times b-a-b=(a-1)\times (b-1)-1.$ ### 多项式$f(x)\mod x-a=f(a).$ ### 如果$x-k \in f(x),$那么$f(k)=0$. ### 现有四边形$ABCD$，并且对角线$AC=a,BD=b,\min(∠BOA,∠AOD)=\theta$，则$S_{ABCD}=\frac{ab\sin \theta}{2}$。 ### 设$a_i(0<i<n)<a_{i+1}$，则${\sum_{i=1}^n |x-a_i|}$当$x=a$的中位数时最小。 ### $\sum_{i=1}^{n} i\times(i+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ ### 若$a_n=ka_{n-1}+b$，$a_1=f$，那么$\{a\}$的通项公式为： $$a_{n+1}+x=k(a_n+x)$$ $$(k-1)x=b,x=\frac{b}{k-1}.$$ $$\frac{a_{n+1}+x}{a_n+x}=k,a_n+x=(f+x)\times k^{n-1}$$ $$a_n=(f+x)\times k^{n-1}-x$$ ---- ### 假设一天的日期为$y$年$m$月$d$日，那么它的星期$w$如下： $$w=(d+2\times m+3\times\frac{(m+1)}{5}+y+\frac{y}{4}-\frac{y}{100}+\frac{y}{400}+1)\mod7$$ 代码： ```cpp int date(int y,int m,int d){ if(m<1||m>12||d<1||d>31||y<1) return 0; if(m==1||m==2){ m+=12;y--; } int w=(d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400+1)%7; if(w) return w; return 7; } ``` ### $\color{green}\texttt{C}\color{red}\texttt{ayley}$公式的定义是这样的，对于$n$个不同的节点，能够组成的无向连通图或者是有标志节点的树的种数是$n^{n-2}$种。