如何运用人类力量暴力破解 2025 浙江中考数学 T24

lzyqwq · 2025-06-26 16:30:21 · 休闲·娱乐

省流：我是唐龙，力大无穷。抛弃大脑，暴力求导。

直接看最后一问。P 在 \text{AC} 延长线的情况是容易的。答案为 3。仅考虑 P 在 \text{AC} 上的情况。

令 \angle \text{CAB}=\theta,\text{AP}=x。则 \text{PC}=8-x。在 \triangle\text{PCB} 中运用余弦定理得到 \text{PB}=\sqrt{x^2-8x+25}。那么 \text{PA}-\text{PB}=x-\sqrt{x^2-8x+25}。

令 f(x)=x-\sqrt{x^2-8x+25}，求导得到 f'(x)=1-\dfrac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+25}}。注意到：

所以 f'(x)>0 恒成立。即 f(x) 在 \mathbb{R} 上单调递增。只需求出 x 的最小值。

接下来令 \angle\text{AEB}=\varphi。可以通过构造外角来证明 \varphi 随着 \text{DE} 变长而减小。且 \text{DE} 趋近于正无穷的时候 \varphi 趋近于 0。因此 \varphi\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)。

在 \triangle\text{ABE} 中，由正弦定理：

解得 \text{AE}=\dfrac{5\sin(2\theta+\varphi)}{\sin\varphi}。在 \triangle\text{AEP} 中由正弦定理：

运用和角公式和二倍角公式整理后可得 x=\dfrac{24+24\cos2\varphi+7\sin2\varphi}{4\sin2\varphi+3\cos2\varphi}。

令 t=2\varphi，则 t\in(0,\pi-2\theta)。令 g(t)=\dfrac{24+24\cos t+7\sin t}{4\sin t+3\cos t}。考虑求解 g(t) 的单调区间，令 g'(t)>0，整理后可得 24\sin t-32\cos t>25。运用辅助角公式得到 \sin(t-\alpha)>\dfrac{5}{8}，其中 \alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)，且 \sin\alpha=\dfrac{4}{5},\cos\alpha=\dfrac{3}{5}。可以发现 \theta+\alpha=\dfrac{\pi}{2}。所以 t-\alpha\in(-\alpha,\alpha)\sube\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)。

再令 \beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)，且 \sin\beta=\dfrac{5}{8},\cos\beta=\dfrac{\sqrt{39}}{8}。由于 \sin\beta<\dfrac{4}{5}=\sin\alpha。结合正弦函数在 \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) 上的单调性可得 \beta<\alpha。所以 \beta\in(-\alpha,\alpha)。同时 \sin(t-\alpha) 在 (0,\pi-2\theta) 上单调递增。且当 t=\alpha+\beta 时 \sin(t-\alpha)=\dfrac{5}{8}。因此 g(t) 的单调递减区间为 (0,\alpha+\beta)，单调递增区间为 (\alpha+\beta,\pi-2\theta)。因此最小值在 t=\alpha+\beta 时取到。将其代入原函数。注意 \sin\beta>\sin\theta，结合单调性可以知道 \beta>\theta。因此 \alpha+\beta>\dfrac{\pi}{2}，余弦值应当取负值。有：

可以计算出此时 g(t)=4+\dfrac{3\sqrt{39}}{5}。因此 \text{AP} 的最小值为 4+\dfrac{3\sqrt{39}}{5}。将其代入 f(x) 可以得到答案为 \dfrac{3\sqrt{39}-4}{5}。

做完了。没有任何难度。去年考这个我不赢麻了？