学习笔记·液体中的物体与密度的关系

wwwidk1234 · 2024-07-09 00:13:06 · 学习·文化课

那维莱特是一只可爱的小海獭，他将一个密度为 \rho_{物}、体积为 V_{物} 的物体放入一杯密度为 \rho_{液} 的液体中，测量出物体浸入液体的体积 V_{浸}。

• (1) 当物体漂浮在水面上时，求证：\dfrac{\rho_{物}}{\rho_{液}}=\dfrac{V_{浸}}{V_{物}}

• (2) 当物体浸没时，求证：\dfrac{G_{物}}{F_{浮}}=\dfrac{\rho_{物}}{\rho_{液}}

• (3) 那维莱特喜欢改变液体的密度，所以他把前两问的液体密度分别改成了 \rho_{甲} 和 \rho_{乙}，若将一物体浸没到这两个不同密度的液体中，设该物体受到的浮力分别为 F_{甲} 和 F_{乙}，求证：\dfrac{F_{甲}}{F_{乙}}=\dfrac{\rho_{甲}}{\rho_{乙}}

解：

• (1) 当物体漂浮在水面上时，物体受到的浮力等于其重力，即 F_{浮} = G_{物}。

根据阿基米德原理，F_{浮} = \rho_{液}gV_{浸}。

同时，物体的重力也可以表示为 G_{物} = \rho_{物}gV_{物}。

由于 F_{浮} = G_{物}，我们可以将两个表达式相等，得到：\rho_{液}gV_{浸} = \rho_{物}gV_{物}，

故 \dfrac{\rho_{物}}{\rho_{液}} = \dfrac{V_{浸}}{V_{物}}。证毕。

• (2) 当物体浸没时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积，即 V_{排} = V_{物}。

此时，物体受到的浮力为 F_{浮} = \rho_{液}gV_{排} = \rho_{液}gV_{物}。

物体的重力为 G_{物} = \rho_{物}gV_{物}。