矩阵的若干运算及其性质
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算法·理论
书接上文 - 行列式入门
本文初步完稿于 2026.6.12，写到了 8.3 部分，后续随缘更新。
本文仅供系统学习线性代数基础的同学参考，但我没啥实力，如内容有误请私信或于评论区指出！感激不尽！
1. 矩阵的定义
矩阵 是由 m \times n 个数排成的 m 行 n 列的数表，一般形式为：
M =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
其中 a_{ij} 表示位于第 i 行第 j 列的元素。矩阵可简记为 M = (a_{ij})_{m \times n} 。
-
实矩阵：若 \forall i,j,a_{ij}\in \mathbb{R}，则矩阵 M 为实矩阵。
-
复矩阵：若 \forall i,j,a_{ij}\in \mathbb{C}，则矩阵 M 为复矩阵。
-
零矩阵：若 \forall i,j,a_{ij}=0，记作 O_{m \times n}。
-
方阵：行数等于列数的矩阵，称为 n 阶方阵。
-
对角阵：方阵中非主对角线元素全为零（即 i \neq j 时 a_{ij}=0）的矩阵，记作 \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)。
-
上三角阵：方阵中主对角线以下元素全为零（i > j 时 a_{ij}=0）的矩阵，下三角阵同理。
-
单位矩阵：主对角线元素全为 1 的对角阵，记作 I_n 或 E_n。此处引入 n 维标准单位列向量 (e_i)_{n\times 1}，其中 e_{i1}=1，其余的值为 0。n 维标准行向量同理。
-
设 A=(a_{ij})_{m\times n}，则称 (a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}) 为 A 的第 i 个行向量，(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj})^T 为 A 的第 j 个列向量。
2. 矩阵相等的条件
设 A = (a_{ij})_{m \times n}，B = (b_{ij})_{p \times q}。若 A = B，则必须满足：
-
- 对所有 i, j 都有 a_{ij} = b_{ij}。
3. 矩阵的加法和数乘
3.1 矩阵加法
定义：设 A = (a_{ij})_{m \times n}，B = (b_{ij})_{m \times n}，则定义
\begin{aligned}
A + B &= (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n} \\&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
其中 A,B 一定得是大小相同的矩阵。
举个例子：
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}
3.2 矩阵加法的性质
设 A, B, C 均为 m \times n 矩阵，O 为 m \times n 零矩阵，则：
- 交换律：A + B = B + A
- 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)
- 零矩阵：A + O = A
- 负矩阵：A + (-A) = O
-
A-B=A+(-B)
3.3 矩阵数乘
定义：设 A = (a_{ij})_{m \times n}，k 为常数，则定义
\begin{aligned}
kA &= (k \cdot a_{ij})_{m \times n} \\&=
\begin{pmatrix}
k a_{11} & k a_{12} & \cdots & k a_{1n} \\
k a_{21} & k a_{22} & \cdots & k a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
k a_{m1} & k a_{m2} & \cdots & k a_{mn}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
举个例子。
2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}
3.4 矩阵数乘的性质
设 A, B 为 m \times n 矩阵，c, d 为任意数，则：
1.数的分配律：(c+d)A=cA+dA
2.矩阵的分配律：c(A+B)=cA+cB
3.数乘的结合律：(cd)A=c(dA)
4.数乘的单位元：I_mA_{m\times m}=A_{m\times m}
5.数乘的零元：0A=0
4. 矩阵的乘法
4.1 定义
设 A=(a_{ij})_{s\times n},B=(b_{jk})_{n\times m}，则 C=(c_{ij})_{s\times m}=AB，其中
c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}
称为 A 和 B 的乘积。
简单来说，AB 的第 (i,j) 元素是 A 第 i 行与 B 第 j 列对应元素乘积之和。因此，A 的列数要等于 B 的行数相等，AB 才有意义。
一般来说，矩阵乘法 不满足 交换律，即使 AB,BA 都有意义，但一般情况下 AB\neq BA。
::::info[例 1 - Description]{open}
设 A 是 m\times k 矩阵，B 是 k\times t 矩阵，若 B 的第 j 列元素全为 0，则下列结论中正确的是？
(A) AB 的第 j 行元素全为 0。
(B) AB 的第 j 列元素全为 0。
(C) BA 的第 j 行元素全为 0。
(D) BA 的第 j 列元素全为 0。
::::
::::info[例 1 - Solution]
先考虑 AB。
::::
### 4.2 矩阵乘法与线性方程组的关系
将下列 $n$ 个未知数 $m$ 个方程式的线性方程组写成矩阵相乘的形式。
$$
\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1
\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2
\\\vdots
\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_m
\end{matrix}\right.
$$
定义系数矩阵 $A$、未知数向量 $\mathbf{x} $ 和常数项向量 $\mathbf{b} $ 如下：
$$
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}& a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}_{m\times n}
$$
$$
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix}_{n\times 1}
$$
$$
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}
b_1\\b_2\\\vdots\\b_m
\end{pmatrix}_{m\times 1}
$$
根据矩阵乘法的定义，上述方程组可以写成如下形式：
$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$
读者可手摸几个看看，挺好玩的（
### 4.3 矩阵乘法的性质
设 $c$ 是一个常数，$I_m,I_n$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶的 **单位阵**，则矩阵乘法满足如下性质：
1. 结合律：$(AB)C=A(BC)$。
2. 分配律：$(A+B)C=AC+BC$。
3. 与数乘的相容性：$c(AB)=(cA)B=A(cB)$。
4. 单位元：对于任意的 $m\times n$ 矩阵 $A$，都有 $I_mA=AI_n=A$。
矩阵运算中一般不支持乘法消去律，即 $AB=AC$ 但 $B$ 不一定等于 $C$。举例如下：
$$A=\begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 &0
\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}
0 &0 \\
1 &1
\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}
0 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}$$
则 $AB=AC=\begin{pmatrix}
0 &0 \\
0 &0
\end{pmatrix}$，$AB=AC$，但 $B\neq C$。
::::info[例 2 - Description]{open}
设 $n$ 阶基础循环矩阵
$$
A=\begin{pmatrix}
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1\\
1&0&0&\cdots&0\\
\end{pmatrix}
$$
求证：
$$
A^k=\begin{pmatrix}
O & I_{n-k}\\
I_k&O
\end{pmatrix}
$$
其中 $1\le k\le n$。
::::
::::info[例 2 - Solution]
将 $A$ 按列分开写成 $A=(e_n,e_1,e_2,\cdots,e_{n-1})$，其中 $e_i$ 是 $n$ 维标准单位列向量（第 $i$ 个分量为 $1$，其余为 $0$）。
注意到 $A$ 左乘 $e_i$ 的效果是循环下移一位：
$$
Ae_i = e_{i-1} \quad (\text{规定 } e_0 = e_n).
$$
因此 $A^k$ 的作用是连续下移 $k$ 位：
$$
A^k e_i = e_{i-k} \quad (\text{下标模 } n,\text{取值 }1,2,\dots,n).
$$
$A^k$ 的第 $j$ 列即为 $A^k e_j$。考察其列向量的构成：
- 当 $j = 1,2,\dots,n-k$ 时，$A^k e_j = e_{j+k}$（因为下移 $k$ 位等价于上移 $n-k$ 位，模 $n$ 意义下），这些列向量的前 $k$ 个分量为 $0$，后 $n-k$ 个分量为单位矩阵 $I_{n-k}$ 的列。
- 当 $j = n-k+1,\dots,n$ 时，$A^k e_j = e_{j+k-n}$，这些列向量的前 $k$ 个分量为单位矩阵 $I_k$ 的列，后 $n-k$ 个分量为 $0$。
写成 $n$ 阶分块矩阵形式（按前 $k$ 行与后 $n-k$ 行分块，按前 $n-k$ 列与后 $k$ 列分块）：
$$
A^k = \begin{pmatrix}
O & I_{n-k} \\
I_k & O
\end{pmatrix}.
$$
::::
## 5. 矩阵的转置
### 5.1 定义
**定义**：设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，则 $A$ 的**转置矩阵**（记为 $A^{\mathrm{T}}$）是一个 $n \times m$ 矩阵，其元素满足：
$$(A^{\mathrm{T}})_{ij} = a_{ji}$$
即 $A^{\mathrm{T}}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素。
**示例**：
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}_{2 \times 3}
\;\Rightarrow\;
A^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}_{3 \times 2}
$$
### 5.2 矩阵转置的性质
设 $c$ 为常数，则
1. $(A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A
-
(A + B)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}} + B^{\mathrm{T}}
-
(cA)^{\mathrm{T}} = cA^{\mathrm{T}}
-
(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}
-
\left | A^{\mathrm{T}} \right |=|A|
5.3 复矩阵的共轭
对于 复矩阵，定义其 共轭矩阵 如下。
设 A = (a_{ij})_{m \times n}，其中 a_{ij} \in \mathbb{C}，则 A 的共轭矩阵为 \overline{A}=(\overline{a_{ij}})_{m\times n}。
容易发现就是在对 A 的每一个元素取共轭复数。（不知道共轭复数是什么的请自行搜索）
举个例子：
A = \begin{pmatrix} 1+i & 2-3i \\ -i & 4 \end{pmatrix}
\;\Rightarrow\;
\overline{A} = \begin{pmatrix} 1-i & 2+3i \\ i & 4 \end{pmatrix}
5.4 矩阵共轭的性质
设 A,B 为复矩阵，c 为常数，则：
-
\overline{A + B} = \overline{A} + \overline{B}
-
c\overline{A} = \overline{cA}
-
\overline{AB} = \overline{A}\,\overline{B}
-
\overline{A^{\mathrm{T}}} = (\overline{A})^{\mathrm{T}}
6. 矩阵的迹
6.1 定义
定义：设 A = (a_{ij})_{n \times n} 是一个 n 阶方阵，则 A 的迹
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}
即为主对角线上元素的和。不难发现当 A 不是方阵时没有对角线，故该矩阵的迹没有意义。
6.2 矩阵迹的性质
设 A, B 为 n 阶方阵，k 为任意常数（或复数），则迹满足以下性质：
-
\operatorname{tr}(kA) = k \cdot \operatorname{tr}(A)
-
\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)
-
\operatorname{tr}(AB) =\operatorname{tr}(BA)
-
\operatorname{tr}(A^{\mathrm{T}}A) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}^2
特别地，若 A 是实方阵，则 A=O\Leftrightarrow \operatorname{tr}(A^TA)=0。
::::info[性质 4 - Proof]{open}
由于等号左边只有迹运算，所以我们考虑矩阵 B=A^{\mathrm{T}}A 的第 k 行第 k 列元素。
\begin{aligned}
b_{kk}&=\sum_{i=1}^n A^{\mathrm{T}}_{ki} A_{ik}\\
&=\sum_{i=1}^n A_{ik}^2
\end{aligned}
然后计算 \operatorname{tr}(A)。
\begin{aligned}
\operatorname{tr}(A)&=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n A_{ik}^2
\end{aligned}
成功得到了性质 4。
::::
7. 方阵的逆
7.1 定义
设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得
AB = BA = I_n
则称 A 是可逆阵或非异阵，并称 B 是 A 的逆阵，记为 B = A^{-1}。
如果不存在这样的 B，则称 A 是不可逆阵或奇异阵。
常见结论：
- 零矩阵一定不可逆。
- 对角阵 A = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n) 可逆当且仅当所有 d_i \neq 0，且其逆为 \operatorname{diag}(d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1})。
7.2 方阵有逆的条件
设 A 是 n 阶方阵，当且仅当 \det(A) \neq 0 时矩阵 A 可逆。
7.3 凑因子法求矩阵的逆
凑因子法类似于因式分解，主要适用于某些具有特殊结构的矩阵，特别是满足简单多项式关系的矩阵（如 A^2 = I、A^3 = 0 等）。其主要目的是用已知的方程，通过因式分解或变量替换，直接配凑出逆矩阵的表达式。
::::info[例 3 - Description]{open}
设 n 阶方阵 A 满足等式 A^2-3A+2I_n=O，证明 A+I_n 是可逆阵并求出他的逆阵。
::::
::::info[例 3 - Solution]
考虑将 A 类比成一个数 x。等式就变为了 x^2-3x+2=0，这时我们进行因式分解，得到 (x+1)(x-4)=-6。
再将 A 代回，得 (A+I_n)(A-4I_n)=-6I_n。
由于左右两边都是方阵，同时取行列式的值也一定相等。
于是 |A+I_n|\cdot |A-4I_n|=(-6)^n\neq 0，我们知道了 |A+I_n|\neq 0，故 A+I_n 是可逆阵，再回头看上面的式子：
::::
虽然还有其他求矩阵逆的方法，但当题目出现矩阵方程等问题时还是建议使用凑因子法的。
::::info[例 4 - Description]{open}
设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $A+B=AB$，求证 $I_n-A$ 是可逆阵且 $AB=BA$。
::::
::::info[例 4 - Solution]
由已知条件 $A+B=AB$，移项得 $AB - A - B = O$。
为了凑出 $(I_n - A)(I_n - B)$ 的形式，我们在等式两边同时加上 $I_n$：
$$
AB - A - B + I_n = I_n
$$
左边可以因式分解为 $(I_n - A)(I_n - B)$，
于是我们得到：
$$
(I_n - A)(I_n - B) = I_n
$$
同上一道题来取行列式得到，$I_n - A$ 是可逆阵，且其逆矩阵为 $I_n - B$，即 $(I_n - A)^{-1} = I_n - B$。
---
下证 $AB=BA$。
从 $(I_n - A)(I_n - B) = I_n$ 展开得 $AB = A+B$。
同时，因为 $I_n - B$ 是 $I_n - A$ 的逆，所以 $(I_n - B)(I_n - A) = I_n$ 也必然成立。
展开 $(I_n - B)(I_n - A) = I_n$ 得 $I_n - A - B + BA = I_n$，即 $BA = A+B$。
因此 $AB = BA = A+B$。
至此，我们证明了 $I_n - A$ 可逆，且 $AB = BA$。
::::
### 7.4 逆阵的性质
设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆方阵，$c \neq 0$ 为常数，则逆矩阵满足以下性质：
#### 基本性质
1. 若 $A$ 可逆，则其逆矩阵唯一。
2. 若 $A$ 可逆，则 $(A^{-1})^{-1} = A$。
3. $(cA)^{-1} = \frac{A^{-1}}{c}
-
(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}
推广到多个矩阵：
(A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}
注意顺序反转，这一性质与转置运算类似。
-
(A^{\mathrm{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathrm{T}}
-
对可逆阵而言，惩罚消去律成立。具体地，设 A 可逆，则
\left\{\begin{matrix}AB=AC\Longrightarrow B=C
\\
BA=CA\Longrightarrow B=C
\end{matrix}\right.
- 若 A 可逆，则
\left\{\begin{matrix}
B\neq0 \Longrightarrow AB\neq 0
\\
C\neq 0\Longrightarrow AC\neq 0
\end{matrix}\right.
- 若 A 可逆，则 |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}。
8. 矩阵的初等变换与初等矩阵
首先，引入矩阵的三种初等行变换（列同理）：
- 交换 i,j 两行。
- 把第 i 行乘常数 k 加到第 j 行上。
- 把第 i 行乘以常数 k。
对矩阵进行以上操作，所得的矩阵是与原先矩阵 等价 的，又称 相抵 的。
不难发现矩阵的等价具有自反性、对称性与传递性。
8.1 用高斯消元法求解线性方程组
基本步骤
设线性方程组为 Ax = b，其增广矩阵为 \widetilde{A} = (A \mid b)。
解线性方程组分为两步：消元、回代。
首先是消元。依次选取主元（通常是当前列中首个非零元），将该列下方所有元素消为零：
- 寻找第 1 列的主元（若 a_{11} = 0，则交换某行使主元非零）。
- 用主元所在行消去其下方各行的对应列元素（做行变换 R_i \leftarrow R_i - \frac{a_{i1}}{a_{11}} R_1）。
- 对第 2 列、第 3 列……重复以上过程，直到矩阵变为行阶梯形。
然后是回代！
从最后一个非零方程开始，依次解出 x_n, x_{n-1}, \dots, x_1。
::::info[例 5 - Description]{open}
举个例子！
求解线性方程组：
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\
2x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 2 \\
x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 3
\end{cases}
::::
::::info[例 5 - Solution]
写出增广矩阵：
\widetilde{A} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
2 & 5 & 3 & 2 \\
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 1 & -3 & 0 \\
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 1 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
此时已得到行阶梯形，然后进行回代。
由第三行：x_3 = 2
由第二行：x_2 - 3x_3 = 0 \Rightarrow x_2 - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6
由第一行：x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \Rightarrow x_1 + 12 + 6 = 1 \Rightarrow x_1 = -17
解为：
x = \begin{pmatrix} -17 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}
::::
8.2 初等矩阵与初等变换之间的关系
初等矩阵 是对单位矩阵施加一次初等行（列）变换所得到的矩阵。
三种初等行变换及对应的初等矩阵
| 初等行变换 |
示例（3 阶） |
记法 |
| 交换两行：R_i \leftrightarrow R_j |
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}（交换 R_2, R_3） |
E_{ij} |
| 某行乘以非零常数：R_i \leftarrow c R_i |
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}（R_2 \leftarrow 5R_2） |
E_i(c) |
| 将一行的倍数加到另一行：R_i \leftarrow R_i + c R_j |
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}（R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1） |
E_{ij}(c) |
初等矩阵和初等行变换的关系如下：
-
左乘初等矩阵等价于对矩阵进行相应的初等行变换。
-
右乘初等矩阵等价于对矩阵进行相应的初等列变换。
具体地：
设
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
取初等矩阵 E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}（对应 R_3 \leftarrow R_3 + kR_1），计算：
EA = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} + k a_{11} & a_{32} + k a_{12} & a_{33} + k a_{13}
\end{pmatrix}
正是将 A 的第 1 行乘以 k 加到第 3 行的结果。
8.3 初等行变换求逆阵
利用初等行变换求方阵 A 的逆矩阵，是一种不依赖于多项式关系，相当简便的一种方法。
其理论依据是：若 A 可逆，则存在一系列初等矩阵 E_1, E_2, \dots, E_k，使得
E_k \cdots E_2 E_1 A = I
从而
A^{-1} = E_k \cdots E_2 E_1 I
这意味着，对增广矩阵 (A \mid I) 施以同样的初等行变换，当 A 变成 I 时，I 就变成了 A^{-1}。
下面详细说明这种方法。
设 A 为 n 阶可逆方阵，I 为 n 阶单位矩阵。
考虑构造大小为 n \times 2n 的增广矩阵 (A\mid I)。
(A \mid I) = \left(\begin{array}{ccc|ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right)
k考虑对增广矩阵施以初等行变换，将左半部分的 A 化为单位矩阵 I。
当左半部分变为 I 时，右半部分自动变为 A^{-1}，即
(I \mid A^{-1}) = \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1 & b_{n1} & \cdots & b_{nn}
\end{array}\right)
此时右半部分的矩阵即为 A^{-1}。
::::info[例 6 - Description]{open}
求 A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} 的逆阵。
::::
::::info[例 6 - Solution]
构造增广矩阵 (A \mid I)：
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
（1）R_2 \leftarrow R_2 + \frac{1}{2} R_1，R_3 \leftarrow R_3 + \frac{1}{2} R_1
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3 & \frac{1}{2} & 0 & 1
\end{array}\right)
（2）R_2 \leftrightarrow R_3
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & \frac{1}{2} & 0 & 1 \\
0 & 3 & 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0
\end{array}\right)
（3）R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & \frac{1}{2} & 0 & 1 \\
0 & 0 & -8 & -1 & 1 & -3
\end{array}\right)
（4）R_3 \leftarrow -\frac{1}{8} R_3
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & \frac{1}{2} & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8}
\end{array}\right)
（5）R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} - \frac{3}{8} & 0 + \frac{3}{8} & 1 - \frac{9}{8} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8}
\end{array}\right)
计算 R_2 右半部分：
\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}
0 + \frac{3}{8} = \frac{3}{8}
1 - \frac{9}{8} = \frac{8}{8} - \frac{9}{8} = -\frac{1}{8}
得到：
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8}
\end{array}\right)
（6）R_1 \leftarrow \frac{1}{2} R_1
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8}
\end{array}\right)
因此，
A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
\frac{1}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\
\frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8}
\end{pmatrix}
::::
注意：在过程中出现左半部分整行全为零，则 A 不可逆。