高等代数 - 双线性形式和二次型
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个人记录
二次型
双线性形式
定义
以下所有对 char F\neq 2 的域考虑。
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双线性形式 Bil(V_1,V_2;F)=V_1\times V_2\to F 为关于每个 V 线性的映射。
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典范配对 (canonical pairing) \langle\lambda,v\rangle\in V^{\or}\times V\to F，其中映 (\lambda,v) 为 \lambda(v).
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Curry 化 令 Map(X,Y) 为 X\to Y 的映射，也可记作 Y^{X}. 则如下三者相互同构：Map(X,Map(Y,Z))，Map(X\times Y,Z)，Map(Y,Map(X,Z)).
上述关于 Curry 化的内容启发我们，我们有如下三者可互相同构：
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和矩阵的关系：M_{m\times n}(F) 和 Bil(V,W;F) 形成双射，其中 V=F^{m}，W=F^{n}. 其中 A 映为 B(V,W)=v^{T}Aw=\sum_{i,j} a_{i,j}v_iw_j.
Pf：
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正交直和：对于 B_i:V_i\times W_i\to F，有 B_1\oplus B_2 为 (V_1\oplus V_2)\times (W_1\oplus W_2)\to F，其中 ((v_1,v_2),(w_1,w_2)) 映到 B_1(v_1,w_1)+B_2(v_2,w_2). 表成矩阵的写法即为左上角 A_1 右下角 A_2 的分块对角矩阵。
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对称 （symmetric）：B(v,w)=B(w,v)，其矩阵也为对称矩阵。
反对称（anti-symmetric）：B(v,w)=-B(w,v)，其矩阵也为反对称矩阵。
根与非退化形式
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左根（Left Radical）：\{v\in V \mid B(v,*)=0\}.
右根（Right Radical）：\{w\in W \mid B(*,w)=0\}.
若 B 对称或反对称，则左根等于右根，称为 B 的根基（Radical）. 根基显然为一个子空间。
非退化形式：左根与右根均为 \{0\}.
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考虑矩阵形式 A_{m\times n}，则 v 属于左根当且仅当 v^{T}A=0，即 v\in \ker A^T. 右根同理，为 \ker A.
故非退化当且仅当 \dim V=\dim W 且矩阵满秩。
合同等价
考虑 B:V\times V\to F. 与 \varphi:V_1\to V_2，则有双线性形式的同构 (V_1,B_1)\to (V_2,B_2)，其中 B_2(\varphi(v),\varphi(v'))=B_1(v,v').
将 \varphi 写作矩阵形式 C，则上述式子写成 C^{T}A_2C=A_1. 称为 A_1 和 A_2 合同等价。
合同等价保持双线性形式的性质。
二次型
定义
二次型（Quadratic form） 为齐次二次多项式 f=\sum_{i,j}a_{i,j}X_iX_j，其中 a_{i,j}=a_{j,i}，也可写作 f=\sum_{i}a_{i,i}X_i^2+2\sum_{i<j}a_{i,j}X_iX_j.
容易发现二次型和对称双线性形式等价。
### 合同对角化
考虑如下命题：任意二次型同构于某个对角二次型（即 $\sum a_{i,i}X^{i}$），即任何对称矩阵合同同构于对角矩阵。
从两个角度去证明：一种是通过多项式的配方法，一种是通过合同变换。
#### 配方法
考虑若存在 $a_{i,i}\neq 0$，对变量做重排使 $a_{1,1}\neq 0$. 然后考虑令 $X_1'=X_1+\sum_{j>1}\frac{a_{1,j}}{a_{1,1}} X_j$，则有 $f=a_{1,1}(X_1')^2+g(X_2,\dots,X_n)$，归纳到 $n-1$ 的情况。
否则，重排后任取 $a_{1,j}\neq 0$，令 $X'_1=X_1-X_j$，则有 $f=g(X_1',X_2,\dots,X_n)+\sum 2a_{1,j}X_j^2$. 回到第一种情况。
#### 合同变换
合同变换相当于先给行做一次操作，再给列再做一次相同操作。那么在面对对称矩阵的时候，初等行变换应当同样适用。也就是只对上三角矩阵操作，该交换交换，该消元消元。
当遇到对角线上全 $0$ 的时候，所需要乘上的变换矩阵也就是 $C_{1,j}=-1$ 的单位矩阵而已。
我们考虑在实数域的情况下，我们可以将一个矩阵变换为只有对角线上有 $\pm 1$ 和 $0$ 的矩阵。在复数域的情况下，对角线上可以只有 $1$ 和 $0$. 所以对于复数域，二次型商掉合同等价后，与 $\{0,1,\dots,n\}$ 形成双射，其中映 $B$ 到 $rk(B)$.
### 实二次型的分类
对于任意 $\dim =n$ 的实二次型：
- 若 $\forall v\neq 0$，$B(v,v)\ge 0$，则称其为半正定。
$B(v,v)>0$，则称其为正定。
半负定和负定同理。
显然正定和负定二次型必然非退化。
- 规范型：任意实二次型都可化为规范型 $X_{1}^2+\dots+X_{p}^2-X_{p+1}^2-\dots-X^2_{p+q}$，其中 $p+q=r$ 为二次型的秩。$p$ 为正惯性系数，$q$ 为负惯性系数。
Sylvester 惯性定理：二次型的惯性系数唯一。
> Lemma：不存在正定子空间 $\dim >p$.
>
> Proof of Lemma：对于子空间 $V_0$，$\dim V_0>p$，令 $N=\langle e_{p+1},\dots,e_{p+n}\rangle$，则有 $\dim(V_0\cap N)=\dim(V_0)+\dim(N)-\dim(V_0+N)>p+(n-p)-n=0$，故存在 $v\in V_0\cap N$，则 $B(v,v)\le 0$，故 $V_0$ 非正定。
>
> 惯性定理的证明：若存在不同的 $p$，那么通过 Lemma 直接可构造子空间导出矛盾。
## 正交空间
### 伴随
对于双线性形式 $B_i\in Bil(V_i,W_i;F)$，其中 $B_1$ 非退化，定义：
- 线性映射 $T:V_1\to V_2$ 的右伴随为 $T^*:W_2\to W_1 $ 满足 $B_2(Tv_1,w_2)=B_1(v_1,T^*w_2)$.
$T:W_1\to W_2$ 的左伴随为 $^*T：V_2\to V_1$ 满足 $B_2(v_2,Tw_1)=B_1(^*Tv_2,w_1)$.
考虑其矩阵形式，则有
- $(Tv_1)^TA_2w_2=v_1^{T}A_1(T^{*}w_2)$，即 $T^{T}A_2=A_1T^*$，故 $T^{*}=A_1^{-1}T^{T}A_2$。
同理左伴随有 $^*T=(A_1^{-1})^TT^{T}A_2^{T}$.
- 若 $B_2$ 也非退化，则可知 $^*(T^{*})=(^*T)^*=T$.
- $(ST)^{*}=T{^*}S^*$，$^*(ST)=\ ^*T \ ^*S $.
- 若线性空间全部相同，且 $B_1=B_2$ 且对称，则有左右伴随相等。
在上述情况下，若 $T=T^{*}$ 则成为自伴，$T=-T^*$ 则称为反自伴。
若 $A=1_{n\times n}$（即内积），则有 $T^*=T^{T}$。在这种情况下，自伴和反自伴与 $T$ 的对称和反对称等同。
### 正交空间
对于非退化双线性形式 $V\times W\to F$，定义：
- $V_0\subset V$ 的正交空间为 $V_0^{\perp}\{w\in W\mid \forall v\in V_0,B(v,w)=0\}$. 对于 $W_0$ 也同样可定义.
- 性质：$\dim V_0^{\perp}+\dim V_0=n=\dim V
首先 \dim V_0=1 和 n 的情况都是简单的。现在对于 \dim V_0=d 的情况，考虑将 V_0 的基扩充为一组 V 的基 v_1,\dots,v_n，并得到一列旗 V_1,\dots,V_n，下证 \dim V_k^{\perp}=n-k.
考虑 V_k 和 V_{k+1}. V_{k+1}^{\perp}=V_{k}^{\perp}\cap \{v_{k+1}\}^{\perp}，故 \dim V_{k+1}^{\perp}\ge \dim V_{k}^{\perp}+(n-1)-n. 又由于 \dim V_{1}^{\perp}=n-1，\dim V_{n}^{\perp}=0，故 \dim V_{k}^{\perp}=n-k.