芜湖市高一期末联考数学评析

da_ke · 2025-01-18 19:12:45 · 学习·文化课

试卷在上面。

总体评价

本次考试难度适中。其中单选题较为简单，多选 9,10 较为基础，多选 11 较难。

填空题前两道简单，最后一题难度较大。

大题前两道很基础，考察知识点单一。第 17 题涉及十字相乘、函数、基本不等式相关知识，第 18 题涉及三角函数。第 19 题综合性较高，第 1，2 两问难度较小，第 3 小问技巧性高，考察零点存在定理，难度较大。

难度评价表（1\sim 4 表示基础，5\sim7 表示中档，8\sim 10 表示难题）：

1	2	3	4	5
1	1	2	1	3.5
6	7	8	9	10
4	4	5	3	4
11	12	13	14	15
8	2	3	7.5	4
16	17	18	19
4	6	7	8

逐题评析

单选题部分

题号 1

考察全称、存在量词命题。对于命题 \forall 满足条件A,则满足B，其否定为 \exists 满足条件 A,则满足\neg B。选 D。

题号 2

考察任意角弧度制、弧长公式。对于圆心角为 \alpha，半径为 R 的弧，其弧长为 \alpha R。l=\dfrac{\pi}{6}\cdot 2=\dfrac{\pi}{3}。选 C。

题号 3

考察充分、必要条件的定义。若 A\Rightarrow B，则称 A 为 B 的充分条件，B 为 A 的充分条件。若 A\Rightarrow B,B\not \Rightarrow A，则称 A 为 B 的充分不必要条件，B 为 A 必要不充分条件。若 A \Leftrightarrow B，则称 A 与 B 互为充分必要条件（充要条件）。

有实数符号意义，x>0,y>0\Rightarrow xy>0；但 xy>0\not \Rightarrow x>0,y>0。选 B

题号 4

考察指数的定义。依题意，荷花开放程度以指数形式增长，且每次扩大 2 倍（亦可用等比数列求和，本题为选择题，没有必要，其他选项很离谱），因此选 B。

题号 5

考察指数对数运算、指对单调性、构造函数。

- 先比较 $a,b$（原因是这两个最容易）。那么我们当然想换为同底比较。于是有 $a=\dfrac{1}{\ln 2}$，又有 $b=\ln 2<\ln \mathrm e=1$。则 $a=\dfrac{1}{b}>b$。 - 比较 $c,b$。$b=\ln 2<1=2^0<2^{\mathrm e}=c$。 - 比较 $a,c$。构造 $f(x)=\log_2 x,g(x)=2^x$。作出图像，作直线 $x=\mathrm e$，与两图像相交，知 $c>a

故 b<a<c，选 A。

题号 6

本题考察诱导公式、三角恒等变换。

观察到半角与四等分角的关系，用诱导公式凑角 \sin 2\alpha=\sin\left[2\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{\pi}{2}\right]=-\cos2\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin^2\alpha-1=-\dfrac{3}{4}。故选 B。

注：如果你用了别的方法，不知如何确定角的范围，下面提供一种方法：

由 \sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt 2}{4}，知 0<\alpha+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{4}\ \text{or}\ \dfrac{3\pi}{4}<\alpha+\dfrac{\pi}{4}<\pi，得 2\alpha \isin \left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)\cup\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)，知 \sin 2\alpha<0。

题号 7

本题考察幂函数、函数奇偶性、函数单调性与不等式。

确定幂函数解析式。幂函数的一般式：f(x)=x^{\alpha}，带入 (8,2)，得 \alpha=\dfrac{1}{3},f(x)=x^{\frac{1}{3}}。
确定 g(x)。g(x)=f(\left|x\right|)=|x|^{\frac{1}{3}}，易证：g(x) 为偶函数。
根据单调性列不等式 |2a-1|<|a+2|，解得 -\dfrac{1}{3}<a<3。

选 C。

题号 8

本题考察三角函数的周期。

## 多选题部分 ### 题号 $9

本题考察不等式的性质。

选项 A。反例：若 c=0，则 ac^2=bc^2=0。
选项 B。证明：\because a>b>0,\therefore a\cdot a>a\cdot b,b \cdot a>b\cdot b，得证。
选项 C。证明：构造函数 f(x)=\dfrac{1}{x}，易知 f(x) 在 (0,+\infty) 上单调递减。由 a>b>0 知 f(a)<f(b)。又由不等式的性质，则 \dfrac{c}{a}>\dfrac{c}{b}。
选项 D。证明：构造函数 g(x)=c^x(c>1)。易知 g(x) 在 \R 上单调递增。随后易证。

故选 BCD。

题号 10

本题考察三角函数基本公式、齐次技巧。

由公式 \tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1，解得 \cos^2\alpha=\dfrac{1}{5}。C 对，A 错（有两个值）。

B 选项在原式分子分母同时除以 \cos \alpha 利用公式易证。

D 选项应用万能公式，得 \cos 2\alpha=-\dfrac{3}{5}。

故选 BC。

题号 11

本题考察函数的奇偶性，对称相关性质，函数的周期等。

先梳理一下知识：

函数图像关于 x=\dfrac{a+b}{2} 对称的充要条件是 f(x+a)=f(b-x)
函数图像关于 \left(\dfrac{a+b}{2},c\right) 对称的充要条件是 f(x+a)+f(b-x)=c

更多见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/691237952

注意到 f(x) 为奇函数，f(x)=-f(-x)，所以 f(x+4)+f(0-x)=4，故函数图像关于 (2,2) 中心对称。A 正确。

注意到，f(x+8)=f(x+4+4)=f(x+4)+4=f(x)+8\not = f(x)，故 8 不是 f(x) 的周期，B 错误。

注意到 f(2025)=f(2021)+4=f(2017)+8=\dots=f(1)+2024=\mathrm e^{-1}+2024。C 正确。

注意：零点存在定理需要两个点，而我只给了一个点，另一个自己任选。

选 AC。

填空题部分

题号 12

易知答案为 \dfrac{4}{3}。

题号 13

本题考察诱导公式和三角函数基本公式。

根据公式化简得原式=-\sin \alpha。本题没什么好说的。