圆锥曲线小整理

什么是真正的文化课选手啊（战术后仰！）。

写这个东西的目的当然是为自己整理一下（高中数学）圆锥曲线的一些重点内容~~数学白痴在高考中照样还是被虐杀~~。

顺便吐槽一下，解析几何这个东西真的是反人类，几何画板移几下就得出的结论，到考场上却十分考验计算能力，列一些长且缺少意义的式子，并祈求自己中间整理式子的时候没有笔误和看错。（纯爆论）

圆锥曲线的最基本的定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数 e（离心率）的点的轨迹。

共性：

设除抛物线以外的圆锥曲线为 : C :\frac{x^2}a +\frac{y^2}{b}=1 默认情况下中心为原点，或 C:Ax^2 +By^2+Dx+Ey+F=0。

对于除抛物线以外的曲线，有 k_{ac} \times k_{bc} = -\frac ba，其中 a,b 关于曲线的中心对称。反之分别过两定点的直线斜率乘积为定值可以反过来定义该曲线（要去掉一些点）。常见的套路为连接弦中点和曲线中心得到一些性质。
对于 C外（存在切点）一点 P(x_0,y_0) ，过 P 的切点弦的直线方程为 (Ax_0)x + (By_0)y+D\frac{x_0+x}2 +E\frac{y_0+y}2+ F=0。特别的，若 P 在 C 上，则该直线为切线方程。
焦半径 |AB|=\frac{ep}{1\pm e\cosθ} 其中 p 为焦准距。

圆只有两个定义，第二定义即为所谓的阿波罗尼斯圆，到两个点的距离之比为定值。可以认为，如果一个方程里面包含 x,y 的最高项都为二次幂且系数相等，则可以认为这个图像是圆（或不存在）。
过圆心垂直于一条弦的直线平分这条弦 \to 注重套路化地过圆心作垂线。

第一定义比较 \rm low ，第二定义为：到直线「准线 x=\pm \frac{a^2}c 」和定点「焦点 F(\pm c,0)」的距离之比为 e \in (0,1) 的点的轨迹。

双曲线存在渐近线，对于 x\to \infty 方程中的常数项被忽略，即渐进性方程为 \frac {x^2}a + \frac {y^2}b=0。到两个焦点的距离之差分别取正和负 \to 分别取到双曲线的其中一支。
第二定义与椭圆相似，只是 e \in (1,+\infty) 。

焦半径的角度表示 L=\frac p{1\pm \cos θ} ，焦点弦 AB 的长 |AB| = \frac {2p} {\sin ^2 θ}，∠AOF=∠BOF。
同上，若 ∠AOB=\frac\pi2 则有 l 过定点 M(2p,0) 。

上面这些也不知是否全部都显然，至少以我的水平不是很能看出来，不过确实很好推，算是二级结论吧。