首先，有个定理叫有限阿贝尔群的准素分解定理，内容是设 G 是一个 n 阶阿贝尔群，n = pm，且 p,m 互质。则一定存在一个 p 阶子群 A 和 m 阶子群 B，满足 AB = g，且 A,B 的交集只有单位元。
证明：由斐蜀定理，一定有 u, v，满足 up + vm = 1。那么，对于 G 中任意一个元素 g，有 g = g^1 = g^{up+vm} = (g^p)^u(g^m)^v。设 (g^p)^u = x,(g^m)^v=y。因为 G 中元素的阶一定为 n 的约数，所以 x^m = (g^{pm})^u = e^u=e,y^p = (g^{pm})^v = e^v=e，那么，x 的阶数为 m 的因数，y 的阶数为 p 的因数。那么对于任意 g \in G，总有 x \in A, y \in B，使得 xy = g。
再证明只有 e 满足 x \in A, x \in B。假设 x \in A, x \in B，那么有 x^p = x^m = e，则 x = x^{up+vm} = x^{up}x^{vm}=e^pe^m=e。
这个定理告诉我们，设 n = \prod_{k=1}^m{p_k^{\alpha_k}}, 则对于一个 n 阶的阿贝尔群 G，则一定存在 m 个阿贝尔群 G_1,G_2,\cdots,G_m，使得 \prod_{k=1}^m G_k=G，且 G_k 的阶为 p_k^{\alpha_k}。
那么，让我们来考虑 G_i。设其中阶最大的元素是 a，a 的阶为 p^m, 令 A = \langle a \rangle，设 B 为 G_i 中与 A 交集为单位元的最大的子群。那么有 AB = G。证明：
设 x \in G_i, x \notin AB。那么，根据柯西定理，x^p \in AB。设 x^p = a^i b(b \in B)。令 x 的阶为 p^k。因为 a 是阶最大的元素，所以 k\le m。所以 (x^p)^{p^k} = (a^i b(b \in B))^{p^k} \Rightarrow a^{ip^k}=b^{-p^k}，但是，A,B 的交集只有 e，所以 a^{ip^k}=e，那么 ip^k 一定是 p^m 的倍数，可以推导出 i 一定是 p 的倍数。
令 i = cp,y=xa^{-c}。则有 x^p=a^{pc}b,y^p=x^pa^{-pc}=b，所以 y^p \in B。所以我们可以将 y 放入 B 中，构造出一个更大的群。但是这与我们B 为 G_i 中不在 A 中的元素这个条件不符合。