浅谈麦森素数与完全数
IceYukino
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0 序言
1 前置知识
1.1 什么是完全数？以及盈数、亏数
1.2 麦森数以及麦森素数
1.3 一个数的因子总数与因子和公式
2 正文
2.1 完全数的公式以及公式证明
2.2 完全数的应用
3 参考文献
0. 序言
完全数是各个国家的数学家们一直在研究的一个课题，数学家一直在寻找着更大的完全数。
截止至2019年，科学家们一共找到了51个完全数，喜爱搜集数论消息的伙伴们一定也知道：截止至2019年，科学家也找到了51个麦森素数。为什么会这么巧呢？让我们来一探究竟。
1. 前置知识
1.1 什么是完全数？以及盈数、亏数。
完全数：如果一个数恰好等于除去它本身以外的所有因子之和，则称该数为“完全数”或“完数”。
盈数：如果一个数除去它本身以外的一切因子的和大于它本身，则称该数为“盈数”。
亏数：如果一个数除去它本身以外的一切因子的和小于它本身，则称该数为“亏数”。
1.2 麦森数以及麦森素数
麦森数：若一个数等于2^p-1，则称该数为麦森数。
麦森素数：若一个麦森数为素数，则也称它为麦森素数。
1.3 一个数的因子总数与因子和公式（此时本身也在内）
2.正文
2.1 求完全数的公式及证明
当2^p-1为素数时（一个麦森素数），那么2^p-1* 2^{p-1}为完全数。
我们先来看2^p-1* 2^{p-1}（下文简称X）的素因子：很明显X的素因子只有2与2^p-1。
根据前置知识Part3的第二个公式，我们可以推算出X的因子和为：
(1+(2^p-1))(1+2+4+\dots+2^{p-1})
=2^{p}(2^p-1)
原数X=2^{p-1}(2^p-1)。
由于因子和公式会把本身算进去，所以$X$的总和其实就是它的因子总和减去自己本身，而它的所有因子和正好等于它自己本身的2倍，所以得出以下式子：
总因子和$-X=$除$X$以外所有因子总和。
而除$X$以外所有因子总和$=2X-X$。
即除$X$以外所有因子总和$=X$。
那么我们就可以证明$X$是一个完全数。
（这一个证明是伟大的数学家欧拉在1730年发表的）。
### 2.2 完全数的应用
很多的朋友的认为：多发现一个完全数，或者少发现一个完全数不会对我们的生活产生影响。就像哥德巴赫猜想是否证明一样，不会对人类发展史产生影响。
对于这些观点，我想说：数学是科学的皇后（至于为什么是皇后，个人认为是用了国际象棋的说法，皇后比国王更强）。完全数的应用，对于我们最明显的一点就是：让我们对数学更有兴趣（数论爱好者都对完全数情有独钟）。至于直接联系科学的应用，科学家们目前还没有发现。
但是，尽管我们目前还没有看到完全数的真正用处，但它反应了自然数的某些规律。研究自然规律，研究数学与科学的联系，研究科学的未解之谜，正是我们对科学的追求。
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## 3.参考文献：
[完全数：从6说起](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1624782710246111037&wfr=spider&for=pc)
[完全数_百度搜索](https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0/370913?fr=aladdin#6)
### 谢谢大家！