「CSP-S 2021」初赛解析

Rainy7 · 2021-09-19 14:08:05 · 个人记录

前言

My blog。

谢谢，非常自闭，感觉没脸人见了。错一堆傻逼的不该错的。

写完解析我觉得我更蠢了怎么办。

感谢同学们的指正！特别感谢 chen_03 帮我指正了亿个错误。

想要部分题目的博客源码可以私信。

代码题的代码暂鸽。

选择题

1.在 Linux 系统终端中，用于列出当前目录下所含的文件和子目录的命令为（）。

A. ls B. cd C. cp D. all

ls 命令用于显示指定工作目录下之内容（列出目前工作目录所含之文件及子目录)。

cd 命令用于切换当前工作目录。

cp 命令主要用于复制文件或目录。

all 我也不知道这干啥。

故选 A 。

2.二进制数 00101010_2 和 00010110_2 的和为（）。

A. 00111100_2 B. 01000000_2 C. 00111100_2 D. 01000010_2

计算题，1+1=10,0+0=0,1+0=1 。

算出来是 01000000_2 故选 B 。

3.在程序运行过程中，如果递归调用的层数过多，可能会由于（）引发错误。

A. 系统分配的栈空间溢出

B. 系统分配的队列空间溢出

C. 系统分配的链表空间溢出

D. 系统分配的堆空间溢出

递归的时候是像栈一样，先进后出的。

故选 A 。

4.以下排序方法中，（）是不稳定的。

A. 插入排序 B. 冒泡排序 C. 堆排序 D. 归并排序

补充不稳定是什么：

比如 2 个值，第 x 个数字是 z ，第 y 个数值也是 z 。其中不妨设 x<y 。但是某些不稳定的排序后可能会出现 x 排到 y 后面的情况。

故选 C 。

5.以比较为基本运算，对于 2n 个数，同时找到最大值和最小值，最坏情况下需要的最小的比较次数为（）。

A. 4n-2 B. 3n+1 C. 3n-2 D. 2n+1

~~关于从原题那年就开始理解错这件事。~~

把序列分成两半，长度分别为 n 。两两之间比，小的和最小值比，大的和最大值比。其中两组第一个数只要比一次。

所以 1+3 \times (n-1)=3n-2 。

故选 C 。

6.现有一个地址区间为 0 到 10 的哈希表，对于出现冲突情况，会往后找第一个空的地址存储（到 10 冲突了就从 0 开始往后），现在要依次存储 (0,1, 2,3,4,5,6,7) ，哈希函数为 h(x)=x^2 \bmod 11 。请问 7 存储在哈希表哪个地址中（）。

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

每个都算一下。分别为 0,1,4,9,5,3,3,5 。

重复的调整一下 0,1,4,9,5,3,6,7 。

故选 C 。

7.G 是一个非连通简单无向图（没有自环和重边），共有 36 条边，则该图至少有（）个点。

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

设有 n 个点，除了一个孤立点外剩下点为完全图。

\dfrac{1}{2}(n-1)(n-2)=36

解得 n=10

故选 C 。

8.令根结点的高度为 1，则一棵含有 2021 个结点的二叉树的高度至少为（）。

A. 10

B. 11

C. 12

D. 2021

“至少”，故是完全二叉树。

所以 2^{10} \le 2021 < 2^{11} 。

故选 B 。

前序遍历和中序遍历相同的二叉树为且仅为（）。

A. 只有 1 个点的二叉树

B. 根结点没有左子树的二叉树

C. 非叶子结点只有左子树的二叉树

D. 非叶子结点只有右子树的二叉树

前序遍历：中左右。

中序遍历：左中右。

所以去掉左时两个相同，选择 D 。

10.定义一种字符串操作为交换相邻两个字符。将 \mathtt{DACFEB}变为 \mathtt{ABCDEF} 最少需要（）次上述操作。

A. 7 B. 8 C. 9 D. 6

考虑冒泡排序思想。

$\mathtt{ABDCFE}$ 4 次。 $\mathtt{ABCDFE}$ 1 次。 $\mathtt{ABCDEF}$ 1 次。共 7 次。故选 A 。 >11.有如下递归代码 >``` cpp >solve(t, n): >if t=1 return 1 >else return 5 * solve(t-1,n) mod n >``` > >则 `solve(23,23)` 的结果为（）。 > >A. 1 > >B. 7 > >C. 12 > >D. 22 阅读可得，要求 $5^{23-1} \bmod 23$ 。考虑用费马小定理，因为 $23$ 是质数，所以 $5^{22} \equiv 1 \pmod {23}$ 。故选 A 。 >12.斐波那契数列的定义为： $F_1=1,F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2} (n \ge 3)$ 。现在用如下程序来计算斐波那契数列的第 n 项，其时间复杂度为（）。 > >```cpp >F(n): >if n<=2 return 1 >else return F(n-1) + F(n-2) >``` > >A. $\mathcal{O}(n)

B. \mathcal{O}(n^2)

C. \mathcal{O}(2^n)

D. \mathcal{O}(n \log n)

或者说是 $2^n$ ，因为每一项都是 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ 。故选 C 。 >13.有 8 个苹果从左到右排成一排，你要从中挑选至少一个苹果，并且不能同时挑选相邻的两个苹果，一共有（）种方案。 > >A. 36 B. 48 C. 54 D. 64 是某一年的填空题换了个外套。选 $1$ 个苹果，有 $8$ 种结果。选 $2$ 个苹果，可以固定第一个往后，有 $6+5+4+3+2+1=21$ 种。选 $3$ 个苹果，有 $4+3+2+1+3+2+1+2+1+1=20$ 。选 $4$ 个苹果，有 $5$ 种。所以总数 $8+21+20+5=54$ 。可以换一种方法。设 $f_i$ 表示有 $i$ 个苹果的方案总数（可以不取）。考虑转移 $f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$ 。所以 $f_8=55$ ，答案为 $f_8-1=54$ 。故选 C 。 >14.设一个三位数 $n = \overline{abc}$ ，其中 $a,b,c$ 均为 $1$ 到 $9$ 之间的整数，若以 $a,b,c$ 作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 $n$ 有（）个。 > >A. 81 B. 120 C. 165 D. 216 考虑 $a = b \not = c$ 有几种。 $1,1$ 无解。$2,2$ 有 $2+2-1-1=2$ 种。同理，$3,3$ 有 $4$ 种，$4,4$ 有 $6$ 种，后面 $5$ 到 $9$ 都是 $8$ 种。所以 $8 \times 5 + 6 + 4 + 2=52$ 。而 $a=b=c$ 有 $9$ 种。所以 $52 \times 3 + 9 = 165$ 。故选 C 。 >15.有如下的有向图，节点为 A, B, … , J, 其中每条边的长度都标在图中。则节点 A 到节点 J 的最短路径长度为（） > >![](https://i.loli.net/2021/09/19/vhYi2frTsyp3PDW.png) > >A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 考虑模拟 dijkstra 。 ![](https://i.loli.net/2021/09/19/t4gQ6XCL5jRZuxp.png) 故选 B 。 ------------ - **阅读程序** (1) 首先先看一下程序，通过求 $t$ 可以猜出这是三维坐标系。还有 $r$ 可以大致猜测是球。因为 $\cos 60^\circ = 0.5$ ，而 $60^\circ$ 在弧度制下就是 $\dfrac{\pi}{3}$ 。可以猜测一下，因为 $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ ， $r$ 是 $\dfrac{\pi}{3}$ ，所以本题和球关系很大，而 $d$ 是半径。 >16.将第 $21$ 行中 $t$ 的类型声明从 `int` 改为 `double` ，不会影响程序运行的结果。（）没有任何下取整的操作，并且结果也是 `double` 不影响。故判对。 >17.将第 26、27 行中的`/ sqrt(t) / 2`替换为`/ 2 / sqrt(t)`，不会影响程序运行的结果。（）这里 `sqrt` 是小数，若先除以 $2$ 会默认下取整。故判错。 >18.将第 28 行中的`x * x`改成`sq(x)`、`y * y`改成`sq(y)` ，不会影响程序运行的结果。（） `sq()` 函数内是算 `int` 类型的平方，这里的 `x` 和 `y` 都是 `double` 类型。故判错。 >19.（2 分）当输入为`0 0 0 1 1 0 0 1`时，输出为`1.3090`。（）手动模拟，这个不会难算。结果为 $\dfrac{5 \pi }{12}$ 估算一下，差不多。故判对。 >20.当输入为`1 1 1 1 1 1 1 2`时，输出为（）。 > >A. `3.1416` B. `6.2832` C. `4.7124` D. `4.1888` 走特判，所以 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ 直接带进去，其中 $r$ 取 $1$ 。故选 D 。 >21.（2.5 分）这段代码的含义为（）。 > >A. 求圆的面积并 B. 求球的体积并 > >C. 求球的体积交 D. 求椭球的体积并根据上面的叭叭，和特判的 `min` ，所以判断是交。故选 C 。 (2) 阅读程序后，发现这是在求最大子段和。先看 `solve2` 再看 `solve1` 会更轻松，不过其实把判断题带进去也很好（（ >22.程序总是会正常执行并输出两行两个相等的数。（）确实。判对。 >23.第 28 行与第 38 行分别有可能执行两次及以上。（）考虑二分到最边界，此时 $(n,n+1)$ 会分成 $(n,n)$ 和 $(n+1,n+1)$ 。相等情况被特判走了，所以不会走那两行特判。若开头输入的 $n<0$ ，也只会分别执行一次。故判错。 >24.当输入为`5 -10 11 -9 5 -7`时，输出的第二行为“7”。（）需要注意 $5$ 为 $n$ （……）。所以这一段的最大字段和为 $11$ 。故判错。 >25.`solve1(1, n)` 的时间复杂度为（）。 > >A. $\mathcal{O}(\log n)$ B. $\mathcal{O}(n)$ C. $\mathcal{O}(n \log n)$ D. $\mathcal{O}(n!)

T(n)=2T \left( \dfrac{n}{2} \right) + 1

>26.`solve2(1, n)` 的时间复杂度为（）。 > >A. $\mathcal{O}(\log n)$ B. $\mathcal{O}(n)$ C. $\mathcal{O}(n \log n)$ D. $\mathcal{O}(n!)

T(n)=2T \left( \dfrac{n}{2} \right) + n

>27.当输入为`10 -3 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4`时，输出的第一行为（）。 > >A. `13` B. `17` C. `24` D. `12` 注意 $10$ 是 $n$ （草！）。所以最大字段和为 `2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4` ，为 $17$ 。 (3) 粗略扫过去可以发现是加密和解密过程。 >28.程序总是先输出一行一个整数，再输出一行一个字符串。（）根据同学的说法，可能因为空串没东西。空串凭什么不是字符串（恼）。 >29.对于任意不含空白字符的字符串 `str1`，先执行程序输入`0 str1`，得到输出的第二行记为 `str2`；再执行程序输入`1 str2`，输出的第二行必为 `str1`。（）既然是加密和解密，这两个必然相同。故判对。 >30.当输入为`1 SGVsbG93b3JsZA==`时，输出的第二行为`HelloWorld`。（）手动模拟。判错。 >31.设输入字符串长度为 n，encode 函数的时间复杂度为（）。 > >A. Θ,$\mathcal{O}(\sqrt n)$. B. $\mathcal{O}(n)$ C. $\mathcal{O}(n \log n)$ D. $\mathcal{O}(n!)

看程序，是 \mathcal{O}(n) 的。

故选 B 。

32.输出的第一行为（）。

A. 0xff B. 255 C. 0xFF D. -1

怎么说，有的人电脑是 -1 有的人是 255 。等最后官方通知。

答案是 D 。

33.（4 分）当输入为0 CSP2021csp时，输出的第二行为（）。

A. Q1NQMjAyMWNzcAv= B. Q1NQMjAyMGNzcA==

C. Q1NQMjAyMGNzcAv= D. Q1NQMjAyMWNzcA==

模拟，选 D 。

完善程序

(1)

（魔法数字）小 H 的魔法数字是 4 。给定 n ，他希望用若干个 4 进行若干次加法、减法和整除运算得到 n 。但由于小 H 计算能力有限，计算过程中只能出现不超过 M = 10000 的正整数。求至少可能用到多少个 4 。

例如，当 n = 2 时，有 2 = (4 + 4)/4，用到了 3 个 4，是最优方案。

试补全程序。

本题类似 dijkstra ，每次选择已经确定最小操作的数字来转移到其他数字。

而 vis 记录已经确定不会再更改操作数的数。

①处应填（）

A. F[4] = 0 B. F[1] = 4 C. F[1] = 2 D. F[4] = 1

首先 4 需要的操作数是 1 ，1 需要的是 2 。

对于程序来说，都是小操作数转移到大操作数。

故选 D 。

②处应填（）

A. !Vis[n] B. r < n

C. F[M] == INT_MAX D. F[n] == INT_MAX

结束掉件首先肯定是 n 已经算出来了。

但 r 似乎对本题没有任何影响……

当 F_n 有值时也不一定是最优的，只有当 F_n 作为可以去转移别人的时候才是最优的。

故选 A 。

③处应填（）

A. F[i] == r B. !Vis[i] && F[i] == r

C. F[i] < F[x] D. !Vis[i] && F[i] < F[x]

这题真的很像 dij ，选择一个没转移过的但又不会再被转移的数。

选 D 。

④处应填（）

A. F[i] < F[x] B. F[i] <= r C. Vis[i] D. i <= x

两个数转移到新的数，只有当这两个数都是最优的时候，才能保证本次转移不会白转移（指其中一个数再更新本次转移作废）。

故选 C 。

(2)

（RMQ 区间最值问题）给定序列 a_1,...,a_n，和 m 次询问，每次询问给定 l,r，求 \max\{ a_1,...,a_n \} 。

为了解决该问题，有一个算法叫 the Method of Four Russians ，其时间复杂度为 \mathcal{O}(n+m) ，步骤如下：

建立 Cartesian（笛卡尔）树，将问题转化为树上的 LCA（最近公共祖先）问题。

对于 LCA 问题，可以考虑其 Euler 序（即按照 DFS 过程，经过所有点，环游回根的序列），即求 Euler 序列上两点间一个新的 RMQ 问题。

注意新的问题为 \pm 1 RMQ，即相邻两点的深度差一定为 1 。

下面解决这个 \pm 1 RMQ 问题，“序列”指 Euler 序列：

设 t 为 Euler 序列长度。取 b=\left\lceil\dfrac{\log_2 t}{2}\right\rceil。将序列每 b 个分为一大块，使用 ST 表（倍增表）处理大块间的 RMQ 问题，复杂度 \mathcal{O}(\frac{t}{b}\log t)=\mathcal{O}(m) 。

（重点）对于一个块内的 RMQ 问题，也需要 \mathcal{O}(1) 的算法。由于差分数组 2^{b-1} 种，可以预处理出所有情况下的最值位置，预处理复杂度 \mathcal{O}(b 2^b) ，不超过 \mathcal{O}(n) 。

最终，对于一个查询，可以转化为中间整的大块的 RMQ 问题，以及两端块内的 RMQ 问题。

试补全程序。

我大受震撼。

先把程序大概扫一遍，懂在干嘛。~~话说为什么我考试的时候都没看到差分这句话？~~

38.①处应填（）

A. p->son[0] = S[top--] B. p->son[1] = S[top--]

C. S[top--]->son[0] = p D. S[top--]->son[1] = p

39.②处应填（）

A. p->son[0] = S[top] B. p->son[1] = S[top]

C. S[top]->son[0] = p D. S[top]->son[1] = p

这部分是在建笛卡尔树，笛卡尔树就是对于序列区间 (l,r) ，选取最大值 x 做为这区间的根，然后再跑 (l,x-1) 和 (x+1,r) ，再和这两个区间的根连边。

可以用单调栈来解决。对于栈顶小于当前元素的情况，显然可以不断弹出，使当前元素找到他最大的左二子。

故 38 题选 A 。

而上述操作结束后，栈顶的元素就比当前元素大，所以可以先把栈顶的右儿子设为当前元素。若后面出现更大的也会覆盖掉。

故 39 题选 D 。

40.③处应填（）

A. x->dep < y->dep B. x < y

C. x->dep > y->dep D. x->val < y->val

其实在建完笛卡尔树后，val 就没有用处了。

这部分的 min 是在处理 st 的时候用的，所以是考虑深度。

另外都 min 了不可能去操作 max 的方法吧（（

故选 A 。

41.④处应填（）

A. A[i * b + j - 1] == A[i * b + j]->son[0]

B. A[i * b + j]->val < A[i * b + j - 1]->val

C. A[i * b + j] == A[i * b + j - 1]->son[1]

D. A[i * b + j]->dep < A[i * b + j - 1]->dep

首先前面都说了 val 已经没有用了（

因为只有 +1 和 -1 两种情况，所以按照题目说法，这里的二进制也是表示这个，用来存储本块内的情况。

故选 D 。

42.⑤处应填（）

A. v += (S >> i & 1) ? -1 : 1

B. v += (S >> i & 1) ? 1 : -1

C. v += (S >> (i - 1) & 1) ? 1 : -1

D. v += (S >> (i - 1) & 1) ? -1 : 1

这里是预处理出块内所有的 2^{b-1} 种情况，方便到时候 \mathcal{O}(1) 算。

因为刚刚是后者小于前者时为 1 。所以为 1 的时候应该 -1 ，反之 +1 。

另外注意一下 i 是从 1 开始的。

故选 D 。

43.⑥处应填（）

A. (Dif[p] >> (r - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)

B. Dif[p]

C. (Dif[p] >> (l - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)

D. (Dif[p] >> ((p + 1) * b - r)) & ((1 << (r - l + 1)) - 1)

对于一个块内的查询 (l,r) 。

这里的 S 是要确认本区间的状态。

而刚刚的 Dif 已经预处理好了，p 是块的位置。

所以选 C 。

\text{by Rainy7}