心形线的传说

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笛卡尔的心形线大家肯定都听说过，因为太过简陋被各界人士吐槽。我在网上又找了一个心形线

解析式：x^2+(y-\sqrt[3]{x^2})=1

可以写给你的npy哦 理科直男的心他们不会懂得 \qwq

下面开始正课部分，今天我们来聊聊参数方程与极坐标。

直线的参数方程

直线的参数方程

方向向量为\overrightarrow{n}=(a,b)且过点P(x_0,y_0)的直线方程为

\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt\end{cases}

其中t为参数。若M点对应参数t，则有

\overrightarrow{PM}=t\overrightarrow{n}

直线的参数方程适用于直线通过定点(x_0,y_0)且需要研究线段长度的情形。

圆的参数方程

圆的参数方程

在平面直角坐标系中，圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程为

\begin{cases}x=a+r\cos\theta \\ y=b+r\sin\theta\end{cases} \theta\in[0,2\pi)

其中\theta为参数

椭圆的参数方程

椭圆的参数方程

椭圆E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的参数方程可以写为

E:\begin{cases}x=a\cos\theta \\ y=b\sin\theta\end{cases}

其中\theta为参数，其几何意义为\theta的终边经过P点（P点对应参数为\theta）经过仿射变换

\begin{cases}x=x' \\ y=\dfrac{b}{a}y'\end{cases}

后的点P'。

椭圆的参数方程可以将曲线上的一点用单一参数表示，从而减少变量的个数。同时引入角度作为参数可以带来丰富的三角公式，有时可以方便运算。我们在应用椭圆的参数方程解题时经常要求椭圆的弦所在的直线方程，在这里推导该直线方程以方便使用。

椭圆的参数弦方程

椭圆的参数弦方程

对于椭圆\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0;a\ne b)上的两点A(a\cos2\alpha,b\sin2\alpha),B(a\cos2\beta,b\sin2\beta)，可得直线AB的方程为

\dfrac{x}{a}\cdot\cos(\alpha+\beta)+\dfrac{y}{b}\cdot\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-\beta)

即

\dfrac{x}{a}\cdot(1-\tan\alpha\tan\beta)+\dfrac{y}{b}\cdot(\tan\alpha+\tan\beta)=1+\tan\alpha\tan\beta

椭圆的参数弦方程推论1

直线AB的斜率为-\dfrac{b}{a\tan(\alpha+\beta)}。

椭圆的参数弦方程推论2

直线AB的横截距为a\cdot\dfrac{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}，纵截距为b\cdot\dfrac{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}。

这一结论是利用参数方程处理圆锥曲线问题的基础，如对于椭圆

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a,b>0,a\ne0

上的两点A(a\cos2\alpha,b\sin2\alpha),B(a\cos2\beta,b\sin2\beta)，若直线AB过定点(m,0)，则有

\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{m-a}{m+a}

这也是参数弦方程常用的结论。

双曲线的参数方程

双曲线的参数方程

双曲线H:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)的参数方程可以写为

H:\begin{cases}x=\dfrac{a}{\cos\theta} \\ y=b\tan\theta\end{cases}

其中\theta为参数，其几何意义与椭圆的类似（椭圆对应圆，而双曲线对应等轴双曲线）。双曲线的参数方程可以将曲线上的一点用单一参数表示，从而减少变量的个数。同时引入角度作为参数可以带来丰富的三角公式，有时可以方便运算。我们在应用双曲线的参数方程解题时经常要求双曲线的弦所在的直线方程，在这里推导该直线方程以方便使用。

双曲线的参数弦方程

对于双曲线\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)上的两点A(a\sec2\alpha,b\tan2\alpha),B(a\sec2\beta,b\tan2\beta)，可得直线AB的方程为

\dfrac{x}{a}\cdot\cos(\alpha-\beta)-\dfrac{y}{b}\cdot\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha+\beta)

即

\dfrac{x}{a}\cdot(1+\tan\alpha\tan\beta)+\dfrac{y}{b}\cdot(\tan\alpha+\tan\beta)=1-\tan\alpha\tan\beta

这一结论是利用参数方程处理圆锥曲线问题的基础，对于双曲线\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)上的两点A(a\sec2\alpha,b\tan2\alpha),B(a\sec2\beta,b\tan2\beta)，若直线AB过定点(m,0)，则有

\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{a-m}{a+m}

极坐标方程

极坐标系

平面上的一个点的位置可以用直角坐标中的有序实数对来确定，也可以由方向角和距离来确定。利用角和距离可以建立一个新的坐标系——极坐标系，在平面内取一定点O称为极点。以O为端点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个单位长度和角度的正方向（通常规定为逆时针方向），这时平面内任意一点M，有\rho=|OM|,\theta=\angle MOx，则点M的位置可以用有序数对(\rho,\theta)表示，这称为点M的极坐标，其中\rho称为点M的极径，\theta称为点M的极角，这样建立的坐标系称为极坐标系。当M为极点时，\rho=0，\theta可取任意值；当\rho<0时，规定(\rho,\theta)对应的点(-\rho,\theta+\pi)。

极坐标方程

在极坐标系中，曲线可以用含有\rho,\theta的两个变数的方程F(\rho,\theta)=0来表示，这个方程称为曲线的极坐标方程。

由于平面内一个点的极坐标不唯一，因此曲线上的点的极坐标不一定都适合方程，但其中应至少有一个坐标能够满足这个方程。这时曲线和极坐标方程的关系为：

$2.$曲线上每一点的所有极坐标中，至少有一个极坐标$(\rho,0)$是方程的解。 ### 极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，$x$轴的正半轴作为极轴，并取相同的长度单位，此时点$M$的直角坐标$(x,y)$与它的极坐标$(\rho,\theta)$之间有： $$x=\rho\cos\theta,y=\rho\cos\theta$$ 且有 $$\rho^2=x^2+y^2,\tan\theta=\dfrac{y}{x}(x\ne0)$$ 好，今天我们就聊到这里。