向量与三角形复习
Tnuzy_plzro
·
·
个人记录
向量与三角形
奔驰定理
在 三角形 ABC中一点O，必有 S_A \cdot \overrightarrow{OA}+S_B \cdot \overrightarrow{OB}+S_C \cdot \overrightarrow{OC}=0
证明：
延长 AO 至 H (BC)
从 A->C->B 方向标角 : 1 2 3 4 5 6
\frac{AO}{OH}=\frac{\sin3 \cdot AC}{\sin4 \cdot CH}=\frac{\sin6 \cdot AB}{\sin5 \cdot BH}
\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OH}\frac{AO}{OH}
\frac{BH}{HC}=\frac{\sin1 \cdot AB}{\sin2 \cdot AC}
\overrightarrow{OH}=\frac{HC}{BC} \cdot \overrightarrow{OB}+\frac{HB}{BC} \cdot \overrightarrow{OC}
（此为定比分点公式）
-\overrightarrow{OA}=\frac{HC}{BC} \cdot \overrightarrow{OB}\cdot \frac{\sin3 \cdot AC}{\sin4 \cdot CH}+\frac{HB}{BC} \cdot \overrightarrow{OC} \cdot \frac{\sin6 \cdot AB}{\sin5 \cdot BH}
（略有技巧的选择分配）
BC\sin4\sin5\overrightarrow{OA}+AC\sin3\sin5\overrightarrow{OB}+AB\sin4\sin6\overrightarrow{OC}=0
对 (sin4,sin5,sin4) 使用正弦定理，命题得证。
外心
利用奔驰定理，容易证明 \overrightarrow{OA}\sin{2A}+\overrightarrow{OB}\sin{2B}+\overrightarrow{OC}\sin{2C}=0
内心
利用奔驰定理，容易证明 \overrightarrow{OA}\sin{A}+\overrightarrow{OB}\sin{B}+\overrightarrow{OC}\sin{C}=0
重心
不利用奔驰定理，也容易证明 \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0
（利用梅氏定理得到 1:2 性质，再用定比分点容易解决）
垂心
垂心的证明颇具技巧性，需要简单说明
我们盲列面积公式，发现不能消掉，这时需要注意可以用余角去对 A,B,C 的 \cos 值，进而解决问题。
而这个余角，正是垂心的特殊性质所带来的。
\overrightarrow{OA}\sin{A}\cos{B}\cos{C}+\overrightarrow{OB}\cos{A}\sin{B}\cos{C}+\overrightarrow{OC}\cos{A}\cos{B}\sin{C}=0
一次性除三个 \cos，真相呼之欲出：
\overrightarrow{OA}\tan{A}+\overrightarrow{OB}\tan{B}+\overrightarrow{OC}\tan{C}=0