常见的无理数证明
超级玛丽王子
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个人记录
\sqrt 2
假设 \sqrt2 是有理数，并设 \sqrt 2=\dfrac p q\quad(p\perp q)
移项并平方，p^2=2q^2，这样必然有 2|p，这样就有 4|2q^2 即 2|q^2，因而有 2|q，与假设 p\perp q 矛盾。
（证毕）
\sin 1
根据级数
\sin x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\therefore \sin 1=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}
设 \sin1=\dfrac p q\quad(p\perp q)
\therefore q!\sin 1=q!-\dfrac{q!}{3!}+\cdots\in\mathbb{N}
取一个最大的 n_0 使得 2n_0+1\le q. 分解和式：
q!\sin1=\sum_{n=0}^{n_0}\dfrac{q!(-1)^n}{(2n+1)!}+\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\dfrac{q!(-1)^n}{(2n+1)!}
考虑到上式右端第一项是整数，但第二项必然介于 (0,1)，因而 q!\sin 1 不是整数，矛盾。
附：考虑到 n_0\ge1,2(n_0+1)+1\ge5，因此有：
\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\dfrac{q!(-1)^n}{(2n+1)!}<\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\dfrac{q!}{(2n+1)!}<\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^{2n+1}}<\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{2^n}<1
（证毕）
e
同理根据级数
e^x=1+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n!}
e=\sum_{n=0}^\infty\dfrac1{n!}
我们同理设 e=\dfrac p q\quad(p\perp q)
\therefore q!e=\sum_{n=0}^q\dfrac{q!}{n!}+\sum_{n=q+1}^\infty\dfrac{q!}{n!}
同理地，上式右端第一项是整数，第二项介于 (0,1)，因而 q!e 不是整数，矛盾。
（证毕）
\pi
我们构造函数 f_{a,b,n}(x)=\dfrac{x^n(a-bx)^n}{n!}，有
f_{a,b,n}^{(k)}(x)=n!\sum\limits_{l=0}^k\binom{k}{l}\frac{n!}{(n-k+l)!}x^{n-k+l}\dfrac{n!}{(n-l)!}(-b)^l(a-bx)^l
对于 k=0,1,\cdots,2n，我们都有
f_{a,b,n}^{(k)}(0),f_{a,b,n}^{(k)}\left(\dfrac{a}b\right)\in \mathbb{Z}
特别地，
f_{a,b,n}^{(2n)}(x)=\dfrac{(2n)!(-b)^n}{n!}
是一个常数。
我们现在假定 \pi=\dfrac a b\quad(a\perp b)
有
f_{a,b,n}(x)=\dfrac{b^nx^n(\pi-x)^n}{n!}
记
I=\int_0^\pi f_{a,b,n}(x)\sin x\mathrm{d}x
\int f_{a,b,n}(x)\sin x=-f_{a,b,n}(x)\cos x+\int f'_{a,b,n}(x)\mathrm{d}(\sin x)=-f_{a,b,n}(x)\cos x+f'_{a,b,n}(x)\sin x-\int f''_{a,b,n}(x)\sin x\mathrm{d}x
=-\cos x\sum_{k=0}^{n}f_{a,b,n}^{(2k)}(x)+\sin x\sum_{k=0}^{n-1}f_{a,b,n}^{(2k+1)}(x)
在 [0,\pi] 上做定积分，结合上述结论可知对于任意的 n\in\mathbb{N}^*，都有
I\in\mathbb{Z}
但是又有下列不等式
0<I<\int_{0}^\pi f_{a,b,n}(x)\mathrm{d}x=\int_0^\pi\dfrac{b^nx^n(\pi-x)^n}{n!}\mathrm{d}x<\int_{0}^\pi\dfrac{b^nx^n\pi^n}{n!}\mathrm{d}x=\dfrac{b^n\pi^{2n+1}}{(n+1)!}
取得充分大的n，便有 I<1，与 I\in \mathbb{Z} 矛盾。
（证毕）