高等数学：雅可比矩阵与重积分的坐标变换法

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重积分的坐标变换法

同济第七版《高等数学下》第十章第二节，二重积分换元法。P152

典型例题

1.求椭圆面积

设二维区域 D_{xy}=\left\{ \left( x,y \right) |\left( \frac{x}{a} \right) ^2+\left( \frac{y}{b} \right) ^2\leqslant 1 \right\}

求

S=\iint_{D_{xy}}{1\mathrm{d}\sigma}

换元，令

\begin{cases} u=x/a\\ v=y/b \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} x=au\\ y=bv \end{cases}

雅可比行列式

J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}=\left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} a& 0\\ 0& b\\ \end{matrix} \right|=ab

积分区域变成圆形区域

D_{uv}=\left\{ \left( u,v \right) |u^2+v^2\leqslant 1 \right\}

区域面积 S_{D_{uv}}=\pi.

带入原式

S=\iint_{D_{xy}}{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\iint_{D_{uv}}{J(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v}=ab\cdot S_{D_{uv}}=\pi ab