题解：P16349 「Gensokyo OI Round 1」坊巷逸闻
hydk2012
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题解
非常好的一道数学题。
思路
首先这是个梯形。
然后我们知道 \text{F} 为 \text{CD} 中点，则有 S_{\triangle \text{ABF}}=S_{\triangle \text{BDF}}+S_{\triangle \text{ACF}}。
所以如果想让 S_\text{AEFC}=S_\text{BEFD}，则需要把 S_{\triangle \text{ABF}} 分成 S_{\triangle \text{BEF}}+S_{\triangle \text{AEF}} 两部分，并且 S_{\triangle \text{AEF}}=S_{\triangle \text{BDF}},S_{\triangle \text{BEF}}=S_{\triangle \text{ACF}} 。然后将 S_{\triangle \text{AEF}} 配给 S_{\triangle \text{BDF}}，S_{\triangle \text{BEF}} 配给 S_{\triangle \text{ACF}}。
这样就可以得到 S_\text{AEFC}=S_\text{BEFD}。
那是为什么呢？
我们推导一下：
\begin{aligned}
S_{\triangle \text{ABF}}&=S_{\triangle \text{BDF}}+S_{\triangle \text{ACF}}\\
S_{\triangle \text{BEF}}+S_{\triangle \text{AEF}}&=S_{\triangle \text{BDF}}+S_{\triangle \text{ACF}}\\
\because S_{\triangle \text{BEF}}&=S_{\triangle \text{ACF}},S_{\triangle \text{AEF}}=S_{\triangle \text{BDF}}\\
\therefore S_{\triangle \text{BEF}}+S_{\triangle \text{BDF}}&=S_{\triangle \text{AEF}}+S_{\triangle \text{ACF}}\\
S_\text{AEFC}&=S_\text{BEFD}
\end{aligned}
所以可以得出。
至于为什么 S_{\triangle \text{ABF}}=S_{\triangle \text{BDF}}+S_{\triangle \text{ACF}}，就是小学奥数了。
然后我们就可以发现 \frac{\text{AE}}{\text{BE}}=\frac{S_{\triangle \text{AEF}}}{S_{\triangle \text{BEF}}}=\frac{S_{\triangle \text{BDF}}}{S_{\triangle \text{ACF}}}=\frac{\text{BD}}{\text{AC}}=\frac{c}{b}。
然后把 \text{BE} 替换为 a-\text{AE}，化简可得 \text{AE}=\frac{a\times c}{b+c}。
然后就没了。