关于三次变两次优化
Ruiqun2009
2022-07-25 15:28:03
在学完 fft 之后，有人开始抱怨了：我的 fft 跑的不够快，我宁愿损失一些精度，也要把时间压下去！
于是就有了三次变两次优化。~~话说复数和三角函数真的很配，如果不配的话就没有这东西了~~
## FFT
### 优化一
我们有两个多项式 $A(x)$ 和 $B(x)$，我们要求它们的卷积。
我们设 $P(x)=A(x)+\mathrm iB(x)$，$Q(x)=A(x)-\mathrm iB(x)$。
在前面的代码里 fft 和 ntt 不是有一个参数叫`len`吗？我们就拿他来推式子。
我们设 $\omega=\omega_{len}$，$\theta=\frac{2\pi ik}{len}$，则
$$
\begin{matrix}
[x^k]\mathcal F(P)=P(\omega^k)\\
=\sum\limits_{i=0}^{len-1}([x_i]A(x)+\mathrm i[x_i]B(x))\omega^{ik}\text{ (1)}\\
=\sum\limits_{i=0}^{len-1}([x_i]A(x)+\mathrm i[x_i]B(x))(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)\\
=\sum\limits_{i=0}^{len-1}([x_i]A(x)\cos\theta-[x_i]B(x)\sin\theta)+\mathrm i([x_i]A(x)\sin\theta+[x_i]B(x)\cos\theta)\\
[x^k]\mathcal F(Q)=Q(\omega^k)\\
=\sum\limits_{i=0}^{len-1}([x_i]A(x)-\mathrm i[x_i]B(x))\omega^{ik}\text{ (1)}\\
=\sum\limits_{i=0}^{len-1}([x_i]A(x)-\mathrm i[x_i]B(x))(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)\\
=\sum\limits_{i=0}^{len-1}([x_i]A(x)\cos\theta+[x_i]B(x)\sin\theta)+\mathrm i([x_i]A(x)\sin\theta-[x_i]B(x)\cos\theta)\\
=\sum\limits_{i=0}^{len-1}([x_i]A(x)\cos(-\theta)-[x_i]B(x)\sin(-\theta))-\mathrm i([x_i]A(x)\sin(-\theta)+[x_i]B(x)\cos(-\theta))
\end{matrix}
$$
其中 $(1)$ 的单位根是用来抵消其他项的。
然后我们发现 $[x^k]\mathcal F(Q)$ 和 $[x^{len-k}]\mathcal F(P)$ 是共轭的。于是在 $\mathcal O(n\log n)$ 的时间内算完 $\mathcal F(P)$ 之后，可以 $\mathcal O(n)$ 算出 $\mathcal F(Q)$。
然后又有 $A(x)=\frac{P(x)+Q(x)}2$，$B(x)=-\mathrm i\frac{P(x)-Q(x)}2$
于是就有了 $\mathcal F(A(x))$ 和 $\mathcal F(B(x))$，进而推出 $\mathcal F(A(x)\times B(x))$，于是就可以压缩时间。
### 优化二
我们能不能将 $2$ 次 FFT 继续优化呢？答案是：可以。
前面有提到过将多项式分成两个多项式的技巧，我哦们继续考虑这个优化。于是：
$$
\begin{aligned}
A(x)B(x)&=(A_1(x^2)+xA_2(x^2))(B_1(x^2)+xB_2(x^2))\\
&=A_1(x^2)B_1(x^2)+xA_1(x^2)B_2(x^2)+xA_2(x^2)B_1(x^2)+A_2(x^2)B_2(x^2)\\
&=A_1(x^2)B_1(x^2)+x(A_1(x^2)B_2(x^2)+A_2(x^2)B_1(x^2))+A_2(x^2)B_2(x^2)
\end{aligned}
$$
所以我们要求的式子是：
$$
A_1(x^2)B_1(x^2)+x(A_1(x^2)B_2(x^2)+A_2(x^2)B_1(x^2))+A_2(x^2)B_2(x^2)
$$
我们需要做 $4$ 次多项式乘法，但是如果把譬如 $A(x^2)$ 这种式子看成关于 $x^2$ 的多项式，那么结果多项式的次数均不超过 $\dfrac{\deg A(x)}{2}+\dfrac{\deg B(x)}{2}$。
所以，我们一开始需要做四次长度为 $n$ 的 FFT，IFFT 需要三次 FFT，总计七次。
使用优化一可以将 FFT 次数优化至 $2$ 次，**若仍考虑优化前做 $3$ 次 FFT 的情况，那么现在只需要做 $1.5$ 次 FFT。**
考虑 IFFT。看似需要做 $3$ 次，其实不然。我们发现它们也可以优化至 $2$ 次。
## MTT
[here](https://www.luogu.com.cn/blog/_post/509130)
code for mtt:
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define int ll
const int N = 2097153;
const long double pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687413260472156951623965864573021631598193195167353812974167729478672422924654366800980676928238280689964004824354037014163149658979409243237896907069779422362508221688957383798623001593776471651228935786015881617557829735233446042815126272037343146531977774160319906655418763979293344195215413418994854447345673831624993419131814809277771038638773431772075456545322077709212019051660962804909263601975988281613323166636528619326686336062735676303544776280350450777235547105859548702790814356240145171806246436267945612753181340783303362542327839449753824372058353114771199260638133467768796959703098339130771098704085913374641442822772634659470474587847787201927715280731767907707157213444730605700733492436931138350493163128404251219256517980694113528013147013047816437885185290928545201165839341965621349143415956258658655705526904965209858033850722426482939728584783163057777560688876446248246857926039535277348030480290058760758251047470916439613626760449256274204208320856611906254543372131535958450687724602901618766795240616342522577195429162991930645537799140373404328752628889639958794757291746426357455254079091451357111369410911939325191076020825202618798531887705842972591677813149699009019211697173727847684726860849003377024242916513005005168323364350389517029893922334517220138128069650117844087451960121228599371623130171144484640903890644954440061986907548516026327505298349187407866808818338510228334508504860825039302133219715518430635455007668282949304137765527939751754613953984683393638304746119966538581538420568533862186725233402830871123282789212507712629463229563989898935821167456270102183564622013496715188190973038119800497340723961036854066431939509790190699639552453005450580685501956730229219139339185680344903982059551002263535361920419947455385938102343955449597783779023742161727111723643435439478221818528624085140066604433258885698670543154706965747458550332323342107301545940516553790686627333799585115625784322988273723198987571415957811196358330059408730681216028764962867446047746491599505497374256269010490377819868359381465741268049256487985561453723478673303904688383436346553794986419270563872931748723320837601123029911367938627089438799362016295154133714248928307220126901475466847653576164773794675200490757155527819653621323926406160136358155907422020203187277605277219005561484255518792530343513984425322341576233610642506390497500865627109535919465897514131034822769306247435363256916078154781811528436679570611086153315044521274739245449454236828860613408414863776700961207151249140430272538607648236341433462351897576645216413767969031495019108575984423919862916421939949072362346468441173940326591840443780513338945257423995082965912285085558215725031071257012668302402929525220118726767562204154205161841634847565169998116141010029960783869092916030288400269104140792886215078424516709087000699282120660418371806535567252532567532861291042487761825829765157959847035622262934860034158722980534989650226291748788202734209222245339856264766914905562842503912757710284027998066365825488926488025456610172967026640765590429099456815065265305371829412703369313785178609040708667114965583434347693385781711386455873678123014587687126603489139095620099393610310291616152881384379099042317473363948045759314931405297634757481193567091101377517210080315590248530906692037671922033229094334676851422144773793937517034436619910403375111735471918550464490263655128162288244625759163330391072253837421821408835086573917715096828874782656995995744906617583441375223970968340800535598491754173818839994469748676265516582765848358845314277568790029095170283529716344562129640435231176006651012412006597558512761785838292041974844236080071930457618932349229279650198751872127267507981255470958904556357921221033346697499235630254947802490114195212382815309114079073860251522742995818072471625916685451333123948049470791191532673430282441860414263639548000448002670496248201792896476697583183271314251702969234889627668440323260927524960357996469256504936818360900323809293459588970695365349406034021665443755890045632882250545255640564482465151875471196218443965825337543885690941130315095261793780029741207665147939425902989695946995565761218656196733786236256125216320862869222103274889218654364802296780705765615144632046927906821207388377814233562823608963208068222468012248261177185896381409183903673672220888321513755600372798394004152970028783076670944474560134556417254370906979396122571429894671543578468788614445812314593571984922528471605049221242470141214780573455105008019086996033027634787081081754501193071412233908663938339529425786905076431006383519834389341596131854347546495569781038293097164651438407007073604112373599843452251610507027056235266012764848308407611830130527932054274628654036036745328651057065874882256981579367897669742205750596834408697350201410206723585020072452256326513410559240190274216248439140359989535394590944070469120914093870012645600162374288021092764579310657922955249887275846101264836999892256959688159205600101655256375678;
#if 0
using cp = std::complex<long double>;
#else
template<typename T>
struct cp_base {
T m_real, m_imag;
cp_base(T r, T i) : m_real(r), m_imag(i) {}
cp_base() {}
cp_base(T r) : m_real(r), m_imag(0) {}
cp_base operator+(const cp_base &o) const {
return cp_base(m_real + o.m_real, m_imag + o.m_imag);
}
cp_base operator-(const cp_base &o) const {
return cp_base(m_real - o.m_real, m_imag - o.m_imag);
}
cp_base operator*(const cp_base &o) const {
return cp_base(m_real * o.m_real - m_imag * o.m_imag,
m_real * o.m_imag + m_imag * o.m_real);
}
cp_base operator+=(const cp_base &o) {
return *this = *this + o;
}
cp_base operator-=(const cp_base &o) {
return *this = *this - o;
}
cp_base operator*=(const cp_base &o) {
return *this = *this * o;
}
cp_base conj() const {return cp_base(m_real, -m_imag); }
T real() const {return m_real; }
T imag() const {return m_imag; }
T& real() {return m_real; }
T& imag() {return m_imag; }
};
using cp = cp_base<long double>;
#endif
int len, n, m, a[N], b[N], c[N], rev[N];
inline int fpow(int base, int power, int mod) {
int ans = 1;
for (; power; base = base * base % mod, power >>= 1) if (power & 1) ans = ans * base % mod;
return ans;
}
inline void init() {
int x = 0;
for (len = 1; (len <<= 1) < n + m; x++);
for (int i = 1; i < len; i++)
rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << x);
}
void FFT(cp *a, int n, int type)
{
for (int i = 0; i < n; ++i)
if (i < rev[i])
swap(a[i], a[rev[i]]);
for (int i = 1; i < n; i <<= 1)
{
cp wn(cos(pi / i), type * sin(pi / i));
for (int j = 0; j < n; j += (i << 1))
{
cp w0(1);
for (int k = 0; k < i; ++k, w0 *= wn)
{
cp x = a[j + k], y = w0 * a[i + j + k];
a[j + k] = x + y;
a[i + j + k] = x - y;
}
}
}
}
void mul(int p) {
static cp da, db, dc, dd, rel(0.5, 0), img(0, -0.5);
const int up = 1 << 15;
static int v1, v2, v3;
for (int i = 0; i < len; i++) {
a[i] = (a[i] % p + p) % p;
b[i] = (b[i] % p + p) % p;
}
cp P[N], Q[N], R[N];
for (int i = 0; i < len; i++) {
P[i] = cp(a[i] >> 15, a[i] & 32767);
Q[i] = cp(b[i] >> 15, b[i] & 32767);
}
FFT(P, len, 1);
FFT(Q, len, 1);
for (int i = 0; i < len; i++) {
R[i] = P[(len - i) & (len - 1)].conj();
}
for (int i = 0; i < len; i++) {
auto x = P[i];
auto y = R[i];
P[i] = (x + y) * rel;
R[i] = (x - y) * img;
}
for (int i = 0; i < len; i++) {
P[i] = P[i] * Q[i];
Q[i] = R[i] * Q[i];
}
FFT(P, len, -1);
FFT(Q, len, -1);
for (int i = 0; i < len; i++) {
v1 = (int)(P[i].real() / len + 0.5);
v2 = (int)(P[i].imag() / len + 0.5) + (int)(Q[i].real() / len + 0.5);
v3 = (int)(Q[i].imag() / len + 0.5);
c[i] = ((v1 % p * up % p * up % p) + (v2 % p * up % p) + (v3 % p));
c[i] %= p;
}
}
signed main() {
int p;
scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p);
for (int i = 0; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
for (int i = 0; i <= m; i++) scanf("%lld", &b[i]);
init();
mul(p);
for (int i = 0; i <= n + m; i++) printf("%lld ", c[i]);
}
```
code for fft:
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define int ll
const int N = 2097153;
const long double pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687413260472156951623965864573021631598193195167353812974167729478672422924654366800980676928238280689964004824354037014163149658979409243237896907069779422362508221688957383798623001593776471651228935786015881617557829735233446042815126272037343146531977774160319906655418763979293344195215413418994854447345673831624993419131814809277771038638773431772075456545322077709212019051660962804909263601975988281613323166636528619326686336062735676303544776280350450777235547105859548702790814356240145171806246436267945612753181340783303362542327839449753824372058353114771199260638133467768796959703098339130771098704085913374641442822772634659470474587847787201927715280731767907707157213444730605700733492436931138350493163128404251219256517980694113528013147013047816437885185290928545201165839341965621349143415956258658655705526904965209858033850722426482939728584783163057777560688876446248246857926039535277348030480290058760758251047470916439613626760449256274204208320856611906254543372131535958450687724602901618766795240616342522577195429162991930645537799140373404328752628889639958794757291746426357455254079091451357111369410911939325191076020825202618798531887705842972591677813149699009019211697173727847684726860849003377024242916513005005168323364350389517029893922334517220138128069650117844087451960121228599371623130171144484640903890644954440061986907548516026327505298349187407866808818338510228334508504860825039302133219715518430635455007668282949304137765527939751754613953984683393638304746119966538581538420568533862186725233402830871123282789212507712629463229563989898935821167456270102183564622013496715188190973038119800497340723961036854066431939509790190699639552453005450580685501956730229219139339185680344903982059551002263535361920419947455385938102343955449597783779023742161727111723643435439478221818528624085140066604433258885698670543154706965747458550332323342107301545940516553790686627333799585115625784322988273723198987571415957811196358330059408730681216028764962867446047746491599505497374256269010490377819868359381465741268049256487985561453723478673303904688383436346553794986419270563872931748723320837601123029911367938627089438799362016295154133714248928307220126901475466847653576164773794675200490757155527819653621323926406160136358155907422020203187277605277219005561484255518792530343513984425322341576233610642506390497500865627109535919465897514131034822769306247435363256916078154781811528436679570611086153315044521274739245449454236828860613408414863776700961207151249140430272538607648236341433462351897576645216413767969031495019108575984423919862916421939949072362346468441173940326591840443780513338945257423995082965912285085558215725031071257012668302402929525220118726767562204154205161841634847565169998116141010029960783869092916030288400269104140792886215078424516709087000699282120660418371806535567252532567532861291042487761825829765157959847035622262934860034158722980534989650226291748788202734209222245339856264766914905562842503912757710284027998066365825488926488025456610172967026640765590429099456815065265305371829412703369313785178609040708667114965583434347693385781711386455873678123014587687126603489139095620099393610310291616152881384379099042317473363948045759314931405297634757481193567091101377517210080315590248530906692037671922033229094334676851422144773793937517034436619910403375111735471918550464490263655128162288244625759163330391072253837421821408835086573917715096828874782656995995744906617583441375223970968340800535598491754173818839994469748676265516582765848358845314277568790029095170283529716344562129640435231176006651012412006597558512761785838292041974844236080071930457618932349229279650198751872127267507981255470958904556357921221033346697499235630254947802490114195212382815309114079073860251522742995818072471625916685451333123948049470791191532673430282441860414263639548000448002670496248201792896476697583183271314251702969234889627668440323260927524960357996469256504936818360900323809293459588970695365349406034021665443755890045632882250545255640564482465151875471196218443965825337543885690941130315095261793780029741207665147939425902989695946995565761218656196733786236256125216320862869222103274889218654364802296780705765615144632046927906821207388377814233562823608963208068222468012248261177185896381409183903673672220888321513755600372798394004152970028783076670944474560134556417254370906979396122571429894671543578468788614445812314593571984922528471605049221242470141214780573455105008019086996033027634787081081754501193071412233908663938339529425786905076431006383519834389341596131854347546495569781038293097164651438407007073604112373599843452251610507027056235266012764848308407611830130527932054274628654036036745328651057065874882256981579367897669742205750596834408697350201410206723585020072452256326513410559240190274216248439140359989535394590944070469120914093870012645600162374288021092764579310657922955249887275846101264836999892256959688159205600101655256375678L;
#if 0
using cp = std::complex<long double>;
#else
template<typename T>
struct cp_base {
T m_real, m_imag;
cp_base(T r, T i) : m_real(r), m_imag(i) {}
cp_base() {}
cp_base(T r) : m_real(r), m_imag(0) {}
cp_base operator+(const cp_base &o) const {
return cp_base(m_real + o.m_real, m_imag + o.m_imag);
}
cp_base operator-(const cp_base &o) const {
return cp_base(m_real - o.m_real, m_imag - o.m_imag);
}
cp_base operator*(const cp_base &o) const {
return cp_base(m_real * o.m_real - m_imag * o.m_imag,
m_real * o.m_imag + m_imag * o.m_real);
}
cp_base operator+=(const cp_base &o) {
return *this = *this + o;
}
cp_base operator-=(const cp_base &o) {
return *this = *this - o;
}
cp_base operator*=(const cp_base &o) {
return *this = *this * o;
}
cp_base conj() const {return cp_base(m_real, -m_imag); }
T real() const {return m_real; }
T imag() const {return m_imag; }
T& real() {return m_real; }
T& imag() {return m_imag; }
};
using cp = cp_base<long double>;
#endif
cp w[N]/*preprocess omegas*/;
int L, n, m, a[N], b[N], c[N], rev[N];
inline void init() {
int x = 0;
for (L = 1; (L <<= 1) < n + m; x++);
for (int i = 1; i < L; i++)
rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << x);
for (int i = 0; i < L; i++)
w[i] = cp(cosl(pi / i), sinl(pi / i));
}
void FFT(cp *a, int n, bool dft)
{
for (int i = 0; i < n; ++i)
if (i < rev[i])
swap(a[i], a[rev[i]]);
for (int i = 1; i < n; i <<= 1)
{
cp wn = w[i];
if (!dft) wn = wn.conj();
for (int j = 0; j < n; j += (i << 1))
{
cp w0(1);
for (int k = 0; k < i; ++k, w0 *= wn)
{
cp x = a[j + k], y = w0 * a[i + j + k];
a[j + k] = x + y;
a[i + j + k] = x - y;
}
}
}
}
void mul() {
cp P[N], Q[N];
for (int i = 0; i < L; i++) {
P[i] = cp(a[i], b[i]);
}
FFT(P, L, 1);
Q[0] = P[0].conj();
for (int i = 1; i < L; i++) Q[i] = P[L - i].conj();
cp A[N];
for (int i = 0; i < L; i++) {
A[i] = (P[i] + Q[i]) * cp(0L, 1L) * (Q[i] - P[i]);
A[i].real() /= 4;
A[i].imag() /= 4;
}
FFT(A, L, 0);
for (int i = 0; i < L; i++)
c[i] = roundl(A[i].real());
}
signed main() {
scanf("%lld%lld", &n, &m);
for (int i = 0; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
for (int i = 0; i <= m; i++) scanf("%lld", &b[i]);
init();
mul();
for (int i = 0; i <= n + m; i++) printf("%lld ", c[i] / L);
}
```
程序会得到错误结果，大佬们可以来改一下吗？
---
upd on 2022.8.21 21:20:
看了一点毛爷爷的论文，写出来了。
### [luogu](https://www.luogu.com.cn/record/91584313) and [loj](https://loj.ac/s/1615984)