高中数学空间向量全集

AK_heaven · 2024-12-24 21:18:22 · 学习·文化课

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2024/10/8 开辟文章

2024/10/9 持续更新 1.1.2 与 1.2

2024/10/10 更新 1.3

第一章 空间向量与立体几何

基本概念

1.1 空间向量及其运算

1.1.1 空间向量及其线性运算

基本定义

空间向量：在空间中，具有大小和方向的量

长度/模：空间向量的大小

表示法：有向线段

零向量：长度为 0 的向量

单位向量：长度为 1 的向量

相反向量：长度相同，而方向相反的向量

相等向量：长度相同，且方向相同的向量

运算规则

一些 ps：由于两个空间向量可以通过平移使得起点相同，从而可以构造出来一个平面，使得两空间向量共面，从而转化为了平面向量问题。

加减：遵循平行四边形法则。

数乘：本质是伸缩变换。

以上两种运算都满足交换律，结合律，分配律。

平行六面体

关于三个空间向量的加减运算，我们可以放在一个平行六面体当中去运算。

位置关系

同样，a // b 同样也可以推出存在实数 m，使得 a = m \times b

所以，对于直线 l，我们可以用任意一个点，和它的方向向量表示出任意一个在直线上的点。

方向向量：对于直线 l 上任意一条平行于这条直线的非零向量。

线面平行：n 在直线 OA 上，如果直线 OA 平行于平面 a 或者在平面 a 当中，那么我们称 n 平行于面 a。

线线共面：两条线段同时平行于一个平面。

共面向量：于该向量共面的向量

Q1: 如何判断三个向量是否共面？

A1: 由平面向量基本定理可得，如果三个向量同处一个平面，任取出其中两个向量 a, b，如果第三个向量 p = x \times a + y \times b，其中，(x, y) 为唯一确定的有序实数对，那么这三个向量就是共面的。

例题：

小结：主要介绍空间向量的基本概念以及运算方法，其中位置关系这里启示我们把同一个平面内的多个向量通过两个不共线的向量表示出来，这是平面向量当中的常用方法。

1.1.2 空间向量的数量积运算

数量积计算

由于两个空间向量仍然可以转化为同一个平面上面的向量，所以夹角和数量积的定义是可以沿用平面向量的定义的。

平面向量的数量积（也称为点积）公式：

设 <a, b> 为向量 a b 的夹角，规定 <a, b> \in [0, \pi]

则数量积 = |a||b|cos<a, b>

当 a 或者 b 为零向量的时候，数量积为 0。

如果 <a, b> = \frac{\pi}{2} 的时候，数量积为 0。

特别的 a \times a = |a|^2

投影向量

欲求 a \to b 的投影向量：

• 1 先将两个向量投影到一个平面 \alpha 上面去。
• 2 利用平面上的投影，得到向量 c，c = |a| \cos{<a, b>}\frac{b}{|b|}

同理，可以用同样的方法将向量投影到一条直线 l 上面。

\textcolor{red}{计算数量积}

• 法 1 建立坐标系，然后将向量的三维坐标相乘后相加

• 法 2 直接用定义法

如果知道 <OA, OB> ，建议往第二种方法思考。

\textcolor{r}{计算向量的模}

• 法 1 建立坐标系，直接用坐标距离公式计算

• 法 2 将该向量用多个我们可以轻松计算数量积的向量表示，并平方后开方。

小结：由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，所以空间图形的许多性质都可以用向量的线性运算和数量积表示出来。因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法解决。

1.2 空间向量基本定理

Hello，空间向量基本定理

首先，我们从三个两两垂直的不共面向量入手

小小的证一下唯一性：

假设存在一个不同的有序实数对(x_1, y_1, z_1)，满足 p = x_1i + y_1j +z_1k

所以 xi + yj + zk = x_1i + y_1j + z_1k

因为 i 和 j 不共线，所以如果 x, y 和 x_1, y_1 当中有一对不一样，那么根据平面基本定理可得，在 i,j 共同的平面上的向量不同。

又因为任意两个向量无法表示第三个向量，所以第三个向量是独立的，那么左式子和右边式子的 k 必定不相同，否则两式不等。

如此，式子不成立。

如果x, y 和 x_1, y_1 都一样，那么 z, z_1 必定不同，由于 k 相同，左右两式不等。

如此，式子不成立。

定理

如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对于任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x, y, z)，使得

​ p = xa + yb + zc

我的理解

由于实数本身就满足线性空间的性质，所以我们也可以称基底为线性基。而我们所谓的正交分解其实就是在求解正交实数线性基，一组基向量的集合就是实数空间当中的一个极大线性无关组。

线性基的度数/大小就是所对应的线性空间的维度。

所以向量基本定理其实对于高维仍然适用。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

意义

首先，使用向量可以解决很大一部分的几何问题，但是几何太过于抽象，以至于以前的几何学大多证明要不是带有一点直觉，就是太抽象和晦涩，据说《几何原本》有这个问题？逃。于是笛卡尔就发明了坐标系，在笛卡尔的研究之上，一个新的学科应运而生——解析几何，从而使得几何学问题可以转化为代数问题进行解决，从而使得计算机的应用领域大大拓展，否则让计算机凭着直觉去思考几何问题：）？而向量的坐标表示的意义也是一样，使得我们可以更好的把握一个向量的长度和方向，从而更加清晰的去思考相关问题。

建立坐标系

首先，取单位正交基底 \{i, j, k\}，以 O 为原点，分别以 i, j 的方向为正方向、以它们长度为单位长度建立 3 条数轴：分别是 x, y, z，它们都叫做坐标轴，这时我们就成功建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，O 叫做原点，i, j, k 叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，把空间分成 8 个部分。

一些性质

对于空间中任意点 A，都对应向量 OA，且存在唯一的有序实数对 (x, y, z)，满足：

​ OA = xi + yj + zk

注意：z 叫做 A 的竖坐标

上式可以简记为 A = (x, y, z)

事实上，如果将 OA 分解的话，则可得三个分向量 (x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z) 分别平行于 x 轴，y 轴，z 轴。

1.3.2 空间向量的坐标表示

运算方法

以下运算都满足：a = (x_1, y_1, z_1), b = (x_2, y_2, z_2)

• a + b = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 - z_2)
• a - b = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)
• \lambda a = (\la a_1, \la a_2, \la a_3), \la \in R
• a \times b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}

以下给出数量积的简单证明：

以及一些对于平面向量的理论的继承：

两点间距离公式

两条直线的夹角问题

• 计算夹角大小：转化为计算夹角余弦值
• 计算夹角余弦值：

​ 由 OA \times OB = {|OA||OB|} \Cos{OA}{OB} \td \Cos{OA}{OB} = \frac{OA \times OB}{|OA||OB|}

• 计算夹角正弦值：

​ 大方向为转化为余弦值来计算，可以使用 sin^2 + cos^2 = 1，也可以直接算余角的余弦值也可。

1.4 空间向量的应用

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

向量表示点线面

• 点：找一个位置向量 OP 表示 P 的位置。
• 线：设 a 是直线 l 上面的方向向量，在直线上取 AB = a，设 P 是直线 l 上一点，由向量共线的条件可知，必定存在实数 t，使得 AP = ta

一点小小的结论：

• 面：初步的思考，如果我们有四个共面的点 A, B, C, D，两向量 AB, AC 作为方向向量，则存在唯一的有序实数对 (x, y)，满足 AD = xAB + yAC

从而我们就可以用两向量，一定点表示出一个平面，其中 AB, AC 还可以表示出任意一个平面内的点。

同理，也有一点点结论：

法向量

空间中直线、平面的平行

• 直线平行于直线 \td 方向向量也平行
• 平面平行于平面 \td 法向量也平行
• 平面平行于直线 \td 法向量垂直于方向向量，(直线上的点不要再用解析式来表示了，换成方向向量 qwq)

空间中直线、平面垂直

• 直线与直线垂直 \td 方向向量垂直
• 直线与平面垂直 \td 法向量平行于方向向量
• 平面于平面垂直 \td 法向量垂直

用空间向量研究距离、夹角问题

• 点 O 到直线 l 的距离？直接在直线 l 上面乱认真找一点 P，作 P 在 l 上的垂线，垂足为 Q，使得 PO 在 l 上的投影向量为 PQ，这样，我们就可以用勾股定理愉快的算出答案啦
• 点到面的距离，直接甩图：

​

三部曲（完结散花）