三大曲线均归位
一只书虫仔
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个人记录
p.s.此文为花絮，为圆锥曲线作一个了结，我也不知道为什么资料上没有抛物线
抛物线的定义
抛物线的定义
平面上到定点F与定直线l(F\in l)的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中F称为抛物线的焦点，l称为抛物线的准线。
抛物线的焦半径公式
抛物线y^2=2px(p>0)上一点P(x_0,y_0)到焦点F的距离
|PF|=x_0+\dfrac{p}{2}
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程
$2.$焦点为$F(-\dfrac{p}{2},0)$，准线为$l:x=\dfrac{p}{2}$的抛物线的方程为$y^2=-2px$；
$3.$焦点为$F(0,\dfrac{p}{2})$，准线为$l:y=-\dfrac{p}{2}$的抛物线的方程为$x^2=2py$；
$4.$焦点为$F(0,-\dfrac{p}{2})$，准线为$l:y=\dfrac{p}{2}$的抛物线的方程为$x^2=-2py$。
## 抛物线的基本量与几何性质
### 抛物线的基本量与几何性质
若抛物线的标准方程为$y^2=2px(p>0)$，则它的几何性质如下：
$1.$**范围**：因为$p>0$，由方程可知$x\geqslant0$，所以抛物线在$y$轴的右侧，当$x$的值增大时，$|y|$也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸，开口向右。
$2.$**对称性**：以$-y$代替$y$，方程不变，因此这条抛物线是以$x$轴为对称轴的轴对称图形。抛物线的对称轴叫做**抛物线的轴**。
$3.$**顶点**：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。在方程中，当$y=0$时，$x=0$，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点。
$4.$**开口大小**：在$y^2=2px(p>0)$中，对于$x$一个确定的值，$p$越大，则$|y|$也越大，就是对应的点离对称轴越远，也可以说开口越大，反之，$p$越小，开口也越小。
## 椭圆的焦准定义
### 椭圆的焦准定义
到定点$F$和定直线$l$的距离之比为$e(0<e<1)$的点的轨迹为椭圆，这就是椭圆的第二定义，又称椭圆的**焦准定义**。该定点称为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的**准线**，距离的比值称为椭圆的**离心率**。
### 椭圆标准方程的推导
平面上，到定点$F(-c,0)$的距离和到定直线$l:x=-\dfrac{a^2}{c}$（其中$a>c$）的距离之比为定值$\dfrac{c}{a}$的轨迹为椭圆，它的方程为$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$。
对于椭圆的标准方程为$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，准线方程为$l:x=\pm\dfrac{a^2}{c}$。椭圆的焦准定义又称椭圆的**第二定义**，我们可以直接由此得到椭圆的焦半径公式。
## 双曲线的焦准定义
### 双曲线的焦准定义
平面上，到定点$F$的距离和到定直线$l$（其中$F\in l$）的距离之比为定值$e(e>1)$的轨迹为双曲线，该定点为双曲线的一个焦点，定直线为双曲线的一条准线，且该焦点与准线是同侧的。
双曲线的标准方程为$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，对应的定点与定直线分别为$F_1(-c,0),l_1:x=-\dfrac{a^2}{c}$与$F_2(c,0),l_2:x=\dfrac{a^2}{c}$，比值为双曲线的离心率$e=\dfrac{c}{a}$，直线$l_1:x=-\dfrac{a^2}{c}$与$l_2:x;\dfrac{a^2}{c}$为**双曲线的左准线**与**双曲线的右准线**。双曲线的焦准定义又称**双曲线的第二定义**，我们可以直接由此得到双曲线的焦半径公式。
好，今天我们就聊到这里。