梦回胎教 - 数列的函数特性

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单调性与有界性

一阶递推数列的单调性与有界性

  1. 数列 \{a_n\} 满足
a_{n+1}=a_n(2-a\cdot a_n)(a>0,n \in \mathbb{N}^*)

试确定 a_1 满足的区间使得 \{a_n\} 单调有界：
证明：

\left|a_{n+1}-\dfrac{1}{a}\right|=a\left|a_n-\dfrac{1}{a}\right|^2
  1. 数列 \{a_n\} 满足
a_1=5,a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+1}{2a_n}(n \ge 1)

证明：\{a_n\} 单调递减。

  1. 数列 \{a_n\} 满足
a_{n+1}=\dfrac{3}{a_n}+2(n \ge 1)

证明：

\dfrac{13}{5}\le a_n\le \dfrac{41}{13}

收敛性

一阶递推数列的收敛与发散

\lim\limits_{n\to\infty}a_n=+\infty
\lim\limits_{n \to \infty}a_n=+\infty
\dfrac{1}{2}\le \dfrac{a_n}{n^\alpha}\le 2

周期性

对于数列 \{a_n\}，如果存在一个整数 T 使得从 \{a_n\} 的第 N 项开始，有

a_{n+T}=a_n(\forall n\ge N)

成立，则称 \{a_n\} 从第 N 项开始为 周期数列。T 的最小值为 最小周期。当 N=1 时，称为 纯周期数列，否则为 混周期数列。

周期的性质

  1. 周期数列的值域必为有限数集。
  2. 值域是有限数集的递推数列是周期数列。
  3. 若 T 是周期数列的最小正周期，则 kT(k \in \mathbb{N}^*) 也是该数列的周期。
  4. 若 T 是周期数列的最小正周期，T' 是数列的另一周期，则 T|T'。
  5. 如果数列 \{a_n\},\{b_n\} 均为周期数列，则数列 \{a_n\pm b_n\}，\{a_nb_n\}，\left\{\dfrac{a_n}{b_n}\right\}(b_n \ne 0) 均为周期数列。

周期性的判定

  1. 设分式线性递推数列 \{a_n\} 满足 a_1 \in \mathbb{R}，常数 A,B,C,D\in\mathbb{R}，A,B,C \ne 0，a_{n+1}=\dfrac{A a_N+B}{C a_n + D}(n \ge 1)，它的递推函数 f(x) 的两不动点 x_1,x_2。试讨论 \{a_n\} 的周期性。
  2. 设 r 阶线性递推数列 a_{n+r}=c_1a_{n+r-1}+c_2a_{n+r-2}+\cdots c_ra_n 的 r 个特征根是 x_1,x_2,\cdots x_r。若特征根两两不等，且存在正整数 T_i 使得 x_i^{T_i}=1(i=1,2,\cdots,r)，则数列 \{a_n\} 是纯周期数列，若 x_1,x_2,\cdots,x_r 中至少有两个是相等的，则数列 \{a_n\} 不是周期数列。
  3. 数列 \{a_n\} 满足若 n 为素数则 a_n=1，否则 a_n=0。判断数 0.a_1a_2\cdots a_n\cdots 是否为有理数。
  4. 数列 \{a_n\} 满足当 n \ge 1 时，a_{2n}=a_n，且当 n \ge 0 时，a_{4n+1}=1，a_{4n+3}=0。证明：这个数列不是周期数列。

和数列的周期性

  1. 设数列 \{a_n\} 是从第 N 项其的最小周期为 T 的周期数列，且满足

    \sum\limits_{i=N}^{N+T-1}a_i=0

    则它的和数列 \{S_n\} 是从第 N-1 项起的周期数列，且最小正周期也为 T。

  2. 和数列 \{S_n\} 是从第 N 项起的最小周期为 T 的周期数列，则数列 \{a_n\} 是从第 N+1 项起的周期数列，最小周期为 T，且

\sum\limits_{i=N+1}^{N+T}a_i=0
  1. 已知实数列 \{a_n\} 及其和数列 \{S_n\} 是周期为 T 的周期数列。求证：至少存在一个 i，使得 a_i \le 0。