幻方

· · 个人记录

注：本文大幅来自 wzlzf3385大佬的博客 并在原文基础上加以美化，并非作者本人原创，仅供作者讲解使用，侵删，讲解完立即删除。

什么是幻方？

幻方的种类

幻方分为 5 种 :

  1. 完全幻方

  2. 乘幻方

  3. 高次幻方

  4. 反幻方

我们平时指的幻方一般是 n 阶幻方。n 阶幻方是由前 n^2 个自然数组成的一个 n 阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的 n 个数的和相等。

例：

如图，是一个 3 阶幻方。

n 阶幻方的构造原理

对于平面 n 阶幻方的构造，分为以下几种情况：

  1. n\equiv1\pmod{2}
  2. n\equiv0\pmod{4}
  3. n\equiv2\pmod{4}

对于满足 n\equiv1\pmod{2} 的 n，现以 7 阶幻方为例说明（如图）：只要将 1 的位置找到，然后依斜线往左下方填即可，纵向到底时行从头起（如图中的 3 和 4 ，9 和 10 等），左边到底时从右边起（如图中的 4 和 5，12 和 13 等），N的倍数向下跳两格，跳出框外从上面找（如图中的 7 和 8，14 和 15，21 和 22，28 和 29，35 和 36 等）。

对于满足 n\equiv0\pmod{4} 的 n，现以一个8阶幻方为例作说明如下：

按 1 到 n 的顺序从左到右、从上到下的依次填写（如左图）。此时图中有以下规律：

  1. 两条对角线的和都等于幻和（8 阶幻和为 260）

  2. 以水平中心线为基准，两边对应的两行数字相加等于幻和的两倍

  3. 以竖直中线为基准，两对应的两列数字相加等于幻和的两倍

上面的 \frac{n}{2} \times \frac{n}{4} 的长方形与下面的 \frac{n}{2} \times \frac{n}{4} 的长方形作中心旋转 180 度互换；左面的 \frac{n}{4} \times \frac{n}{2} 的长方形与右面的 \frac{n}{4} \times \frac{n}{2} 的长方形作中心旋转 180 度互换（如右图）。

对于满足 n\equiv2\pmod{4} 的 n，现以一个 10 阶幻方为例说明如下：

令 n = 4k + 2

按 1 到 n 的顺序从左到右、从上到下的依次填写（如上图）。此时图中有以下规律：

  1. 两条对角线的和都等于幻和（10 阶幻和为 505）

  2. 以水平中心线为基准，两边对应的两行数字相加等于幻和的两倍

  3. 以竖直中线为基准，两对应的两列数字相加等于幻和的两倍

确定需要对称变换的部分：对角线上的数字不要动，中间部分 2k \times 2k 部份的数不要动。如左图所示对应色块的图形中心对称变换后得到右图所示。

对余下的除对角线和中间 2k \times 2k 部分的数这外的数作轴对称变换：

如图所示，再将两次变换后有右图叠加如图：

此时且发现：上部的 \frac{n}{2} - k 行已符合幻方要求，对应的下面 \frac{n}{2} - k 行也符合要求；左面的 \frac{n}{2} - k 列同样符合要求，对应的右面的列也一样。但中间的 2k 行和 2k 列不满足要求。但同样有对应的两行或两列之和是幻和的两倍。

对中间的左、右两列的数作轴对称变换（紧靠中轴线的左、右一行、列除外）。第 1 行（或列）、第 \frac{n}{2} 行（或列），第 n 行（或列）的对应两边的数作轴对称变换，如图所示：

经此变换后除了中间的两行和两列不符合幻方要求，其余均已符合。但仔细观察后发现：将最后一行紧靠中线的两数交换，最后一列紧靠轴线的两数交换即可。

因此最后图形为：

这就是最后的10阶幻方。