参考系、离心力、科里奥利力和地球

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非惯性参考系——变化的视角

早上起床，你一睁眼就发现：墙角静止的一个篮球突然开始动了起来！你回想起著名的牛顿第二定律 F=ma，不由得奇了怪了：这地面挺光滑的，提供不了这个摩擦力啊，那这个加速度是哪里来的呢？难道世界变异了，牛顿第二定律被推翻了？你揉揉眼睛，才想起来今天是在坐火车，拉开窗帘一看，原来是列车准备进站了，正在减速。

以上便是非惯性参考系的一个简单例子。我们假定车厢地面是光滑的。站在地面上看，这事其实简单：火车减速了，篮球水平方向不受力，根据 F=ma 也没有加速度，所以相对火车向前移动了。但是如果你蒙上窗帘，把列车的加速度忽略了，那么你就惊奇地发现了篮球凭空产生的加速度，就像是凭空产生了一个力一样。

我们来解释几个名词。惯性参考系 指的就是上例的地面一样，没有加速度的参考系；非惯性参考系 则是指上例的火车那样，有加速度的参考系。我们知道，初中的牛顿力学定律是假想了一个绝对静止的参考系；进一步会发现，在所有的惯性参考系中，这些定律也都是成立的。但是在非惯性参考系中，牛顿第二定律 F=ma 往往不再成立，我们需要在等式的左边补足一个力才能让左右相等；这个补上去的力可以看成是由于这个参考系的变速运动而产生的一个力，我们将其称为 惯性力。

我们还是来考虑火车的例子。火车刹车，有一个向后的加速度 a，在火车上的人们观察到篮球水平方向上不受力却以向前 a 的加速度相对火车运动，人们套用牛顿第二定律，得出篮球受到了大小为 ma，方向向前的惯性力。而躺在床上的人也不例外，他们受到了床垫大小为 ma、方向向后的摩擦力却保持静止（在地面上作受力分析容易看出这一点），似乎冥冥之中有一个力和这个摩擦力抵消了，这个力大小为 ma，方向向前。可以看出，在车上的人看来，这个车上任意质量为 m 物体会受到一个向前的、大小为 F=ma 的力，这就是所谓“惯性力”。

当然，惯性力并不是实际存在的力；它只是为了让非惯性参考系中的牛顿运动定律成立而假想出来的力，它实际上反映的是参考系的加速状况。以此来看，似乎叫 惯性作用 而非惯性力更妥当。但由于这个叫法历史悠久，而且这么理解有助于实际应用，故本文沿用这个名词。请读者时刻注意：惯性力不是真实存在的力。

我们作以下约定：用小写英文字母 F,a 等代表数，而用带上标的字母 \overrightarrow {F},\overrightarrow {a} 等来表示向量。有些时候我们也习惯用不带上标的字母来表示对应向量的模长。用公式整理一下上面得到的结果：在各点加速度都为 \hat a 的非惯性参考系中质量为 m 的物体受到的惯性力为

\overrightarrow F=-m\overrightarrow a

匀速圆周运动

现在我们再来考虑一类参考系——做匀速圆周运动的参考系。这种参考系最为典型的代表就是自转的地球。我们知道，地球沿北极、南极间假想的地轴自西向东自转，周期为 24 小时。

简单起见，我们先来研究平面上的匀速圆周运动的参考系。考虑用一个垂直于地轴的平面将地球切开，如果我们站在北极点观察，那么在这个平面上，地球的自转方向是逆时针的。设地球自转的角速度为 \omega，这个平面的旋转中心为 O。

我们先来考虑一个相对于地球静止的人。站在宇宙人的角度看，这个人在做匀速圆周运动，故根据高中的物理知识他受到大小为 m\omega^2r 的向心力（其中 r 是人到 O 的距离），方向指向 O。（这个结论的证明将放在全文最后。）但是在地球上的人们来看，他是相对于地面静止的，因而地球的惯性力是和上述力大小相等、方向相反的，也就是大小为 m\omega^2r 而方向背离 O 的力。这个力被称作 离心力。

注意：向心力和离心力不同，向心力是真实存在的力。对地面上的人来说，向心力由重力和地面的支持力、摩擦力的合力提供。另外，下面我们称一个点和圆心的连线的方向为 径向。那么我们就可以说，向心力的方向沿径向向里，而离心力的方向沿径向向外。

我们再来考虑一个特殊情况。上面研究的是地球人眼中的“静止人”，那么宇宙人眼中的“静止人”又是怎么样的呢？在宇宙人眼中他相对静止，因而他所受合力为 \hat 0。而在地球人眼中，他在以 \omega 的角速度做反方向的匀速圆周运动，也就是在地面上自东向西运动，故应该受到一个方向沿径向向内、大小为 m\omega^2r 的力。但如果我们认为上一段推出的离心力对任何在地球参考系中的物体都适用的话，那么实际上两边的力一正一反，有一个大小为 2m\omega^2r 的力的差距需要补足。现在摆在我们面前的有两个选项：要么整体地看，认为这个人只受到一个惯性力，方向沿径向向内、大小为 m\omega^2r；要么拆开来看，认为他受两个惯性力，一个就是离心力，还有一个就是大小为 2m\omega^2r 的、径向向内的力。

我们稍微做一下推广。假设地球人眼中他沿东西方向做角速度为 \omega_1 的匀速圆周运动，那么在宇宙人眼中，他在地球表面沿着东西方向做角速度为 \omega_1+\omega 的匀速圆周运动；宇宙人告诉我们：他受力大小为 F=mr(\omega+\omega_1)^2；而地球人拿着牛顿第二定律算出来的结果却是 F'=mr\omega_1^2。故惯性力大小为

F_I=F'-F=-mr\omega^2-2mr\omega\omega_1

上式的正方向为径向向里。

这下真相大白了：前面提到过的离心力在这个表达式中就是 -mr\omega^2；而后半段的 -2mr\omega\omega_1 是一种新的惯性力，它和离心力不同，是由于物体和参考系的相对运动而产生的（离心力不需要二者相对运动也存在）。其大小正比于参考系运动的角速度，也正比于物体相对于参考系运动的角速度；且当 \omega\omega_1 > 0，也即两个角速度同向时，该力的方向沿径向向外；当 \omega\omega_1 < 0，也即两个角速度不同向时，该力的方向沿径向向内。用地球的例子来说就是：在赤道上自西向东行走的人，受到远离地心的惯性力；自东向西行走的人则受到指向地心的惯性力。 当然，由于这个力很小，实际生活中我们很难感受得到。

上面我们研究的运动都是圆周运动，也就是速度的方向总沿着 切向（也就是与径向垂直的方向）。下面我们来研究更一般的平面运动。我们不妨先来研究径向的运动，也就是在地球赤道上起飞或者降落的降落伞的运动。直观上来看，降落伞在降落的时候，由于地球自转的线速度随着半径越小而下降，降落伞会由于惯性而向地球自转的方向，也就是东侧偏移；反之，起飞的时候半径增大，降落伞做圆周运动的线速度跟不上地球自转的速度，因而会向地球自转的反方向，也就是西侧偏移。

这个惯性力有多大呢？为了照顾不同读者的水平，我们这里直接给出如下结论：若物体沿极向作相对于参考系的运动，设二者相对速度大小为 v，那么该物体受到的惯性力除去离心力外，还有一个沿切向的、大小为

F=2m\omega v

的惯性力，方向按如下规则确定：若物体向内运动则该力和参考系转动的方向一致，否则相反。详细的推导同样放到本文最后。

我们回过头来看看之前得到的公式 $F_I=F'-F=-mr\omega^2-2mr\omega\omega_1

有经验的读者马上就能意识到：我们已经完全找出了平面上的运动所受惯性力的规律。假设物体以速度 $\overrightarrow v$ 运动，我们总可以把它沿径向和极向把它拆成两个分速度 $\overrightarrow v=\overrightarrow {v_r}+\overrightarrow {v_\theta}$。考虑 $\overrightarrow {v_r},\overrightarrow {v_\theta}$ 各自引起的惯性力 $\overrightarrow {F_r},\overrightarrow {F_\theta}$，我们知道 $\overrightarrow {F_r},\overrightarrow {F_\theta}$ 分别是 $\overrightarrow {v_r},\overrightarrow {v_\theta}$ 向右旋转 $90^{\circ}$，再乘上一个相同的比例系数得来的。那么可以知道，$\overrightarrow {F_r},\overrightarrow {F_\theta}$ 的合力 $\overrightarrow {F}$ 也可以通过 $\overrightarrow{v}$ 向右旋转 $90^{\circ}$，再乘上相同的系数得到。换句话说，我们有 $$ |\overrightarrow F|=2m\omega|\overrightarrow v| $$ 这个 **因为物体在旋转面方向上有相对于参考系的速度而产生，且方向总是垂直于速度方向的惯性力** 被称作 **科里奥利力**。这是为了纪念法国物理学家、气象学家科里奥利所作出的贡献，他在 1835 年最早提出了在旋转参考系中引入这一假想力来简化计算。 在结束这一节之前，我们稍微分析一下沿地轴方向的运动对离心力和科里奥利力的影响。可以发现，由于在地轴方向上圆周运动的参考系不改变坐标，因而如果在这个方向上考虑，这个参考系实际上是一个惯性系，自然惯性力也为 $0$。我们可以进一步得出：匀速圆周运动的参考系中的惯性力一定在旋转面内，也只和物体在沿旋转面投影的运动状态相关。 我们习惯上采用 $\overrightarrow {F_c}$ 表示离心力，$\overrightarrow{F_{\mathrm{Col}}}$ 表示科里奥利力。我们最后用向量形式简洁地叙述一下上面得到的各个结果： $$ \overrightarrow {F_I}=\overrightarrow {F_c}+\overrightarrow{F_{\mathrm{Col}}} $$ $$ \overrightarrow {F_c}=m\omega^2\overrightarrow{r} $$ $$ \overrightarrow{F_{\mathrm{Col}}}=2m\overrightarrow v\times \overrightarrow\omega $$ 这里 $\overrightarrow r$ 是从地轴和旋转面的交点指向物体位置的向量，$\overrightarrow v$ 是物体的速度，$\overrightarrow \omega$ 是物体的角速度向量，$\times$ 是叉乘。在地球模型中，角速度向量 $\overrightarrow\omega$ 被定义成沿地轴方向从地心指向北极、大小为 $\omega$ 的向量。熟悉叉乘定义的读者应该能自主验证上面结论就是前面已经得到结论的另一种表述方法，不熟悉的读者则请记住下面的法则：科里奥利力的大小正比于物体速度在旋转面上投影的大小，一定垂直于地轴，且在北极上空看，这个力的方向在物体速度向右旋转 $90^{\circ}$ 处。 ### 地向偏转力 前面拿地球举了这么久的例子，但基本上都是为了说明平面上的问题。这一节里我们将进一步来探究球面上的性质。方便起见，采用下面的表记：地球半径为 $R=6371.393\ \mathrm{km}$，地球自转的角速度 $\omega=\dfrac{2\pi}{24\ \mathrm{h}}$。 首先我们来讨论离心力。这个比较简单，地球在纬度 $\theta$ 处的横切面半径为 $R\cos\theta$。那么质量为 $m$ 的物体受到的离心力大小为 $$ F_c={m\omega^2R\cos\theta} $$ 即使在 $\cos\theta=1$ 的赤道，经过计算，体重 $m=100\ \mathrm{kg}$ 的人所受离心力也只有 $0.003560\ \mathrm{N}$，因而不能被人感受到是很正常的。但是，对于许多地球科学的研究对象，例如大气、海洋等，由于研究周期长，小的力也能做出很大的功，因而必须将这些力考虑进去。 在球面上，我们一般还需要研究力的分解。在球面上除了两极的每一点，都有三个互相垂直的方向：指向地心的方向，经线的方向和纬线的方向。从下面的图中我们可以看出，离心力分解产生两个力：地心方向的力指向地球外侧，大小为 $F_c\cos \theta$，这个力会参与到重力和支持力的平衡；经线方向的力指向赤道，大小为 $F_c\sin\theta$。 （图） 接下来我们讨论科里奥利力。我们首先来研究沿经线方向的运动，这其实就是上一节讨论过的在圆盘上匀速圆周运动的问题。我们知道，向东运动的物体受远离地轴的科里奥利力 $F=2mv\omega$，这个力和离心力一样，分解成地心向外的力和沿经线指向赤道的力。反之，向西运动的物体受指向地轴的科里奥利力，这个力分解的结果是沿地心向里的力和沿经线指向两极的力。一般将科里奥利力沿地球表面的分力称作 **地向偏转力**。 （图） 我们来作一下计算。一架速度 $v=900\ \mathrm{km/h}$ 的客机，假如在北回归线 $\theta=23^\circ26^{'}$ 附近向东飞行，那么地向偏转力引起的飞机向南的加速度 $a=\dfrac{F\sin\theta}{m}=2v\omega\sin\theta=0.01446\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$。对于速度大约在四倍音速的洲际导弹，这个加速度还会更大，成为精准制导所不可忽视的问题。 我们再考虑物体南北向的运动。考虑到我们只关心物体在旋转面上的投影的速度，可以发现这个速度是物体自身运动速度的 $\sin\theta$ 倍。故我们可以类似得到：在纬度为 $\theta$ 的地方，物体以 $v$ 的速度向两极移动时受到向东的大小为 $2mv\omega\sin\theta$ 的地向偏转力；向赤道移动时受力方向相反。 以上规律可以如下总结：**在北半球水平运动的物体，地向偏转力在速度的正右方；在南半球则正好相反。地向偏转力的大小与物体的质量、运动速度和纬度的正弦值成正比。** 最后我们来考虑竖直方向的运动。和南北向的运动一样，这个运动在旋转面上的投影的方向也在圆心的连线上，只不过投影的速度大小从 $2mv\omega\sin\theta$ 变成了 $2mv\omega\cos\theta$。也就是说，水平运动引起的地向偏转力的大小沿纬度递增而递增，竖直运动引起的地向偏转力的大小反而沿纬度递减而递增。 ### 数学推导 在文章的最后一部分，我们来推导作圆周运动的参考系背后的数学原理，同时也来证明前面的一些结论。接下来的内容可能需要读者有一定的数学基础。 首先根据前面的讨论，我们可以不用考虑地轴方向的运动。接下来的讨论都将限制在一个平面上转动的圆盘中。 我们以圆盘的旋转中心为原点，取定一个极轴的方向，建立一个平面上的极坐标系。对平面上一点 $(r,\theta)$，我们规定 $\overrightarrow{\mathrm{e}_r}$ 表示这一点的径向的单位向量，$\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}$ 表示这一点切向的单位向量。 （图） 容易得知： $$\overrightarrow{\mathrm{e}_r}=\cos\theta\overrightarrow{x}+\sin\theta \overrightarrow{y},\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}=-\sin\theta\overrightarrow{x}+\cos\theta \overrightarrow{y}$$ 其中 $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ 分别表示沿极轴方向和沿垂直极轴方向的单位向量，也就是极坐标系中的 $(1,0)$ 和 $(1,\pi/2)$（或者说平面直角坐标系中的 $(1,0)$ 和 $(0,1)$）。 考虑在该平面上运动的物体，我们可以用两个函数 $r(t)$ 和 $\theta(t)$ 分别表示该物体在时刻 $t$ 的极坐标。我们将从此推导物体 $t$ 在各个时刻的速度、加速度。以下出现的所有变量都是时间 $t$ 的函数，方便起见我们不再显式标出。另外，遵照惯例，用 $\dot{f}$ 表示函数 $f$ 对时间 $t$ 求导的结果。这里假定 $r,\theta$ 都是至少二阶可导的。 - 位移 $\overrightarrow{r}$： $$ \overrightarrow{r}=r\times \overrightarrow{\mathrm{e}_r} $$ - 速度 $\overrightarrow{v}$： $$ \overrightarrow{v}=\dot{\overrightarrow{r}}=\dot r\times \overrightarrow{\mathrm{e}_r}+r\times{\dot{\overrightarrow{\mathrm{e}_r}}} $$ 上面应用了函数相乘的求导法则。我们还需要求 $\dot{\overrightarrow{\mathrm{e}_r}}$ 的值，这里容易发现： $$ \dot{\overrightarrow{\mathrm{e}_r}}=\dot\theta{\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}},\ \dot{\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}}=-\dot\theta{\overrightarrow{\mathrm{e}_r}} $$ 简单应用复合函数的链式求导法则即可。整理一下： $$ \overrightarrow{v}=\dot r\overrightarrow{\mathrm{e}_r}+r\dot\theta{\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}} $$ 可以发现，上式将速度泾渭分明地分成了径向速度 $\dot r\overrightarrow{\mathrm{e}_r}$ 和切向速度 $r\dot\theta{\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}}$。 - 加速度 $\overrightarrow a$： $$ \overrightarrow a=\dot{\overrightarrow{v}}=(\ddot r\overrightarrow{\mathrm{e}_r}+\dot r\dot{\overrightarrow{\mathrm{e}_r}})+(\dot r\dot\theta\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}+r\ddot\theta\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}+r\dot\theta\dot{\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}}) $$ $$ =(\ddot r\overrightarrow{\mathrm{e}_r}+\dot r\dot\theta{\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}})+(\dot r\dot\theta\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}+r\ddot\theta\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}-r(\dot\theta)^2{\overrightarrow{\mathrm{e}_r}}) $$ $$ =\overrightarrow{\mathrm{e}_r}(\ddot r-r(\dot \theta)^2)+\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta) $$ 作为上面得到的公式的应用，我们先来推导匀速圆周运动时物体所受的力（也就是推导其加速度）。此时有 $r$ 是一个常数，故 $\dot r=\ddot r=0$；$\theta=\omega t$，$\dot \theta=\omega$，$\ddot \theta=0$。故可得 $$ \overrightarrow{a}=-r\omega^2\overrightarrow{\mathrm{e}_r}=-\overrightarrow{r}\omega^2 $$ 这就是中学课本提到的向心加速度公式。 我们稍微拓展一下。现在我们来推导非匀速的圆周运动；此时仍有 $\dot r=\ddot r=0$。则 $$ \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{r}\dot\theta^2+\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}r\ddot\theta $$ 可以发现，除了向心加速度之外（角速度取瞬时角速度），还多了一个沿切线方向的加速度，大小和角速度的变化率有关。 注意：以上公式是从物体对某参考系运动轨迹推导对某参考系速度、加速度的公式，对任意参考系（包括非惯性系）都成立。 ------------------- 接下来我们假设有两个参考系 $S_0,S_1$，其中 $S_0$ 是惯性系（宇宙系），$S_1$ 是作角速度为 $\omega$ 的匀速圆周运动的非惯性系（地球系）。考虑一段运动，我们分别在两个参考系中用两对极坐标 $(r_0(t),\theta_0(t))$ 和 $(r_1(t),\theta_1(t))$ 来描述。容易知道： $$ r_0=r_1 $$ $$ \theta_1=\theta_0-\omega t $$ 我们写出两边的加速度公式： $$ \overrightarrow{a_0}=\overrightarrow{\mathrm{e}_{r0}}(\ddot {r_0}-r_0(\dot {\theta_0})^2)+\overrightarrow{\mathrm{e}_{\theta 0}}(2\dot {r_0}\dot{\theta_0}+r_0\ddot{\theta_0}) $$ $$ \overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{\mathrm{e}_{r1}}(\ddot {r_1}-r_1(\dot {\theta_1})^2)+\overrightarrow{\mathrm{e}_{\theta 1}}(2\dot {r_1}\dot{\theta_1}+r_1\ddot{\theta_1}) $$ 注意到 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{\theta_0}},\overrightarrow{\mathrm{e}_{r_0}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{\theta_1}},\overrightarrow{\mathrm{e}_{r_1}}$ 实际上是一对相同的单位向量。方便起见，以下若变量 $x_0,x_1$ 相等，我们将省略下标。对减得 $$ F_I=m(\overrightarrow{a_1}-\overrightarrow{a_0}) $$ $$ =m(\overrightarrow{\mathrm{e}_{r}}(-r((\dot {\theta_1})^2-(\dot {\theta_1}+\omega)^2))+\overrightarrow{\mathrm{e}_{\theta}}(-2\omega\dot{r})) $$ $$ =m(r\omega^2\overrightarrow{\mathrm{e}_{r}}+(2r\omega\dot{\theta_1}\overrightarrow{\mathrm{e}_{r}}-2\dot r\omega\overrightarrow{\mathrm{e}_{\theta}})) $$ 这里的 $mr\omega^2\overrightarrow{\mathrm{e}_{r}}$ 显然就是离心力。回顾公式 $\overrightarrow{v}=\dot r\overrightarrow{\mathrm{e}_r}+r\dot\theta{\overrightarrow{\mathrm{e}_\theta}}$，上式的后两项就是把速度的两个分项各转 $90^{\circ}$ 再加起来，最后乘上系数 $2\omega$ 得到的，也就是我们之前讲过的科里奥利力。 在全文的最后，我们稍微将上面的模型拓展到做变速圆周运动的参考系的惯性力问题。观察上面的式子，可以发现离心力和科里奥利力的计算方式仍然相同，只不过要把 $\omega$ 理解为瞬时角速度。另外，注意到我们在上面的对减中默认了 $\ddot{\theta_0}=\ddot{\theta_1}$，这在变速圆周运动中是不一定成立的。这时我们会发现，有一个大小为 $r\dot\omega$ 的、方向沿 ${\overrightarrow {\mathrm e_\theta}}$ 的加速度差，这个加速度引起的力总是沿切向方向，因而也被称作 **切向力**。切向力的形成方式可以类比本文最开头提到的各点加速度一致的非惯性参考系。