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2024高考新I.19

考锤子构造啊

你有1\ldots 4m+2这些数,设随机删去两个数后,存在一种将剩下4m个数分成m个大小为4的组,每个组可重排成一个等差数列的概率P_m,证明P_m>\dfrac{1}{8}.

容易想到考察元素和\dfrac{(4m+2)(4m+3)}{2}=8m^2+10m+3是个奇数,每次删掉的是a,a+b,a+2b,a+3b,和为4a+6b是偶数,所以删掉的一定一奇一偶.

容易想到对a_i\bmod 4分类,操作可以给4个同余类大小分别减1,可以给差2的减2,可以给一个减4,那么一开始四个类大小模4分别是1,1,0,0,若删去1,3类或2,4类各一个,得到0,1,3,0状物,容易发现无解.得到1,1,3,3也是无解因为同余类减2必须差2.只能是对1,2类各减1.

发现此时渐进意义概率一算是\dfrac{1}{8}了.所以差不多就是这个结论.

那么设a_i\equiv 1,a_j\equiv 2,若i<j容易发现直接往后顺着排就是对的.

对i>j,先把前面后面顺着填会变成证明删去2,4m+1合法,手玩m=2,3,4,猜测每个等差数列公差都是m,然后直接从前往后构造,则考虑模m同余类容易证明正确性.但这个在m=1时两个被删去的落入同一同余类会失效.

此时的概率是\dfrac{2m+2}{4m+2}\dfrac{m+1}{4m+1}-\dfrac{2m}{(4m+2)(4m+1)}=\dfrac{2m^2+2m+2}{16m^2+12m+2}>\dfrac{1}{8}