三角函数
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三角函数
一、三角函数
1.1任意角
初中学的角度全都是从 0~360°，而高中最大的进步就是拓展了角度的范围，可以从负无穷到正无穷。
（1）任意角的定义：一条射线绕着端点在平面内旋转而成的图形，角的大小就是转过的角度，角的正负就是旋转的方向（逆时针为正）。
就像这个角是 \theta ，大家不要被迷惑，以为它看上去就是大约 20°，他也有可能是 380°（先逆时针转 360° 回到原位置，再逆时针转 20°），甚至有可能是 -340°（顺时针转一圈不到 20°），还有更多可能。
（2）任意角的正负：强调一下逆时针为正。
（3）任意角的象限：
其实就是把这条射线的初始位置放到 x 轴，并且把原点和射线的起点重合。因此每一个角都会落在某个象限或者某个坐标轴上。
此时的角就落在第一象限
1.2弧度制
弧度制的作用就是更方便地求弧长。除此之外它就打不过角度制了。
（1）定义：弧长和半径相等的圆心角就是 1 弧度的角。单位为 rad，读作弧度，这种用“弧度”来表示角度的方法叫做弧度制。
（2）弧长计算公式
l=\theta R\\
能够更加方便地求出弧长，这就是弧度制最大的魅力。
（3）弧度制和角度制的转换：
2\pi=360° \Longrightarrow\pi=180° \Longrightarrow\frac{\pi}{2}=90° \Longrightarrow\frac{\pi}{4}=45°\Longrightarrow\frac{\pi}{3}=60°\Longrightarrow\frac{\pi}{6}=30°
1.3任意角的三角函数
（1）定义：设 \theta 是一个任意角，它的终边和单位圆的交点为 P(a,b) ，如图：
\sin{\theta}=b\\ \cos{\theta}=a\\ \tan{\theta}=\frac{b}{a}\\
注：
①三个三角函数都有可能是负值，具体取决于 a 和 b 的正负。
②正弦和余弦的定义域是 R ，但是正切的定义域为 \{\theta|\theta\ne k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\}
1.4诱导公式
对于三角函数，根据它的定义，有下列诱导公式
第一组：
\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\\\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\\\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\\
第二组：
\sin{(\pi-\theta)}=\sin{\theta}\\\cos{(\pi-\theta)}=-\cos{\theta}\\\tan{(\pi-\theta)}=-\tan{\theta}\\
第三组：
\sin{(\frac{\pi}{2}\pm\theta)}=\cos{\theta}\\ \cos{(\frac{\pi}{2}\pm\theta)}=\mp\sin{\theta}\\ \tan{(\frac{\pi}{2}\pm\theta)}=\mp\cot{\theta}=\mp\frac{1}{\tan{\theta}}\\
通过上面三组公式我们就可以把所有的角都化为一个锐角了，锐角处理起来还不是有手就行。大家需要牢记第三组公式，前面两组比较好背，所以第三组更重要。大家只要记得sin不变，cos符号相反，tan符号相反加倒数。
1.5三角函数的图像
我们可以画出三角函数的图像，例如
在数学中，这是典型的五点法作图。
更多具体的图像我们留到振动和波动章节再细说。
## 二、三角恒等变换
### 2.1三角恒等变换的基本概念
三角恒等变换是数学的一类公式，用于三角等价变化。咳咳咳，**最重要的其实还是在同学面前装13**，接下去的内容2.2**两角和差公式**以及2.3**辅助角公式**需要**牢牢掌握**，2.4和差化积、积化和差以及2.5万能公式就可以记下来在同学面前装13了。
### 2.2两角和差公式
（1）三个两角和差公式
$$
\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\ \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\\
$$
这是**最最最最重要**的公式，一定要**背下来**。就像张无忌的九阳神功，没有九阳神功他也学不会乾坤大挪移。
（2）倍角公式
$$
\sin{2\alpha}=2\sin\alpha\cos\alpha\\ \cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1=1-2\sin^2{\alpha}\\ \tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}\\
$$
【例题】求函数 $f(\alpha)=\frac{1}{2}\cos{2\alpha}+\cos{\alpha}(x\in[0,2\pi])$ 的最小值。
【解析】
$$
f(\alpha)=\frac{1}{2}\cos{2\alpha}+\cos{\alpha}\\ =\frac{1}{2}(2\cos^2{\alpha}-1)+\cos{\alpha}\\ =\cos^2{\alpha}+\cos{\alpha}-\frac{1}{2}\\ =(\cos{\alpha}+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}\\ \therefore f_{min}=-\frac{3}{4}
$$
### 2.3辅助角公式
（1）作用
辅助角公式常用来**求极值**。
（2）辅助角公式
$$
a\sin{\alpha}+b\cos{\alpha}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi)\\ \cos{\varphi}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sin{\varphi}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \tan{\varphi}=\frac{b}{a}
$$
【例题】求函数 $f(x)=(1+\sqrt3\tan{x})\cos{x}(x\in R)$ 的最大值。
【解析】
$$
f(x)=\cos{x}+\sqrt3\sin{x}\\=2\sin{(x+\frac{\pi}{6})}\\ \therefore f_{max}=2
$$
### 2.4和差化积、积化和差（喝茶画鸡）
（1）和差化积公式
$$
\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{{\alpha}+\beta}{2}}\cos{\frac{{\alpha}-\beta}{2}}\\ \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\frac{{\alpha}+\beta}{2}}\sin{\frac{{\alpha}-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{{\alpha}+\beta}{2}}\cos{\frac{{\alpha}-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=-2\sin{\frac{{\alpha}+\beta}{2}}sin{\frac{{\alpha}-\beta}{2}}\\
$$
证明：
emm证明的话其实和差化积和积化和差可以互证（把和差化积的 $\alpha$ 换为 $\alpha+\beta$ ， $\beta$ 换为 $\alpha-\beta$ 就得到了积化和差），因此只证明积化和差。
（2）积化和差公式
$$
\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha}+\beta)+\sin{(\alpha}-\beta)]\\ \cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha}+\beta)-\sin{(\alpha}-\beta)]\\ \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[cos{(\alpha}+\beta)+\cos{(\alpha}-\beta)]\\ \sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}[cos{(\alpha}+\beta)-\cos{(\alpha}-\beta)]\\
$$
【证明】（其实用两角和差公式展开就行了）
$$
\frac{1}{2}[\sin{(\alpha}+\beta)+\sin{(\alpha}-\beta)]\\ =\frac{1}{2}[\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta]\\ =\frac{1}{2}[2\sin\alpha\cos\beta]\\ =\sin\alpha\cos\beta
$$
后面的三个公式就不证明了，证明方法相同。需要知道的是，其实**积化和差、和差化积公式都是从最基础的两角和差公式推演**过来的，因此大家需要把握住两角和差公式。
【例题】若 $\cos{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{1}{3}$ ，求 $\cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}$ 。
【解析】
根据积化和差公式的第三个公式
$$
\cos{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}\\ =\frac{1}{2}(\cos{2\alpha}+\cos{2\beta})\\ =\frac{1}{2}(2\cos^2{\alpha}-1+1-2\sin^2{\beta})\\ =\cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}\\ =\frac{1}{3}
$$
### 2.5万能公式
$$
\sin{\alpha}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}\\ \cos{\alpha}=\frac{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}\\ \tan{\alpha}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
$$
总而言之，**背下来装13**。
## 三、解三角形
三角形是大家见到的最基础的图形，那么它的三条边和三个角有什么关系呢？一般我们把三条边记为 $a,b,c$ ，三条边的 对角记为 $A,B,C$ ，这一小节我们将介绍三角形中两个基本定理：**正弦定理**和**余弦定理**。
### 3.1正弦定理
正弦定理的内容
$$\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\\$$
其中 $R$ 是三角形内接圆的半径。
【证明】
根据圆周角和圆心角的关系$\angle{AOB}=2C$，因此 $\overline{AB}=c=2R\sin{C}$ ，所以我们就能得到 $\frac{c}{\sin{C}}=2R$，其他边的证明同理。
### 3.2余弦定理
余弦定理的内容
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\\ b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\\ c^2=a^2+b^2-2aB\cos{C}\\
$$
注：勾股定理其实只是余弦定理的特例，现在能够感受到余弦定理的厉害之处了吧。
【证明】
懒得写了，先鸽着