送 命 计 算 题

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纯属娱乐……大家都知道对于无穷的计算是不能瞎搞的吧

所以各位大佬觉得没意思请不要喷我啦 qwq

1. 问题描述

定义函数

g(x) = \sum_{i=1}^{\infty} x^i = x + x^2 +x^3 \dots \dots

请计算 g(1)

2. 解法

定义函数

f(x)=\sum_{i=1}^{\infty} i \cdot x^i = x+2x^2 + 3x^3 \dots \dots

则

f(x)-x=2x^2 + 3x^3 + 4x^4 \dots \dots \frac{f(x)-x}{x} = 2x + 3x^2 + 4x^3 \dots \dots \frac{f(x)-x}{x} - g(x) =x + 2x^2 + 3x^3 \dots = f(x)

又因

g(x) + x \cdot g(x) = x + 2x^2 + 2x ^3 + 2x^4 \dots \dots g(x)+ x\cdot g(x) + x^2 \cdot g(x)= x + 2x^2 + 3x ^3 + 3x^4 \dots \dots \dots \dots g(x) + (x+x^2 + x^3 \dots)g(x) = g(x) + g^2(x) = f(x)

得出

(1-x)g^2(x) + (1-2x)g(x) -x =0

把 x=1 代入得

g(1)=-1

3. 拓展与探究

当 x=1 时，把 g(1)=-1 代入 g(1) + g^2(1) = f(1) 得

f(1)=0

震惊！全体自然数之和居然为 0

不说了，黎曼正拿着刀在敲我家门嘞

是不是这个伪证又老早有人证过了