椭圆和直线的交点个数判别式
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学习·文化课
高中选择性必修一内容
省流：独立发现妙妙结论
\Delta = A^2a^2+B^2b^2-C^2
引子
我是一个热爱过程的人，但是很明显我不爱计算
所以我有言曰：
遇到一个很通用的题目，我们要先苦后甜，先把字面的数字用字母换了，再代入计算。
然后我们把目光放到高中选择性必修一第114页（臭）的一道例题：
求直线 4x-5y+m=0 和椭圆 \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 的交点情况（个数）
我寻思着反正要求一些离谱交点，我开始贯彻我的言论，我开始算：
求直线 l:Ax+By+C=0 和椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的交点情况
解&分析：
我们就按照书上的内容来：
可知交点坐标满足：\begin{cases}Ax+By+C&=0\\\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}&=1\end{cases}
我们学习书本借助直线 l 的方程拿 x 表示 y
很明显过程要严谨，所以对于 B：
情况 1，B=0
由直线 l 方程我们有 Ax+C=0，
如果 A 也是 0 那它就不是一个直线的方程了，所以必然有 x=-\dfrac{C}{A}
由椭圆的横坐标范围是 \left[-a,a\right]，那么我们讨论 -\dfrac{C}{A} 和 \left(-a,a\right) 的关系即可
简单讨论可知 l 和 C 关系为\begin{cases}
\text{相交}&-\frac{C}{A} \in \left(-a,a\right)\\
\text{相切}&-\frac{C}{A} = \pm a\\
\text{相离}&-\frac{C}{A} \notin \left[-a,a\right]
\end{cases}
化简条件后：
\text{相交}&C^2 < A^2 a^2\\
\text{相切}&C^2 = A^2 a^2\\
\text{相离}&C^2 > A^2 a^2
\end{cases}
情况 2，B\not=0
由直线 l 方程有：y=-\dfrac{Ax+C}{B}
直接代入椭圆方程可得：\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\left({\dfrac{Ax+C}{B}}\right)^2}{b^2}=1
写好看点得到：\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{(Ax+C)^2}{B^2 b^2}=1
小阶段发挥人类吃苦耐劳精神：
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{A^2 x^2}{B^2 b^2}+\dfrac{2ACx}{B^2 b^2}+\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0
\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)x^2+\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x+\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0
我们成功得到了一个一元二次方程，l 和 C 的交点个数很明显就是这个方程根的个数。
哦对对对，我们没有证明这是一个一元二次方程：因为还需说明 \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\neq 0
额 \dfrac{1}{a^2}>0 和 \dfrac{A^2}{B^2 b^2}\ge 0 解决
所以我们随心所欲套入一元二次方程的根的判别式：
\Delta = \left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2-4\times\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\times\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)
接下来开始全面发挥人类吃苦耐劳精神（我尽量不跳步骤）：
\Delta
&= \left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2-4\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\\
&= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-4\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\\
&= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 b^2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)+4\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\\
&= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 a^2 b^2}-\dfrac{4A^2C^2}{(B^2 b^2)^2}+\left(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4A^2}{B^2 b^2}\right)\\
&= \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4A^2}{B^2 b^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 a^2 b^2}\\
\end{aligned}
好好好到了这一步已经十分公整了
我们知道有：
\text{相交}&\Delta > 0\\
\text{相切}&\Delta = 0\\
\text{相离}&\Delta < 0
\end{cases}
很明显我们只要能够得到 \Delta 与 0 的大小关系的等价命题也可以
所以我们可以进一步把这个 \Delta 弄成更加简单的形式，例如乘或除一个正数
所以给 \Delta 乘上它的分母 B^2 a^2 b^2 再除去 4 后：
\Delta' = A^2 a^2 + B^2 b^2 - C^2
写成 \Delta' 以便区分
可以发现有一种怎么说……很对称的美（确信）
并且如果代入 B=0 并和前文比较过后，会发现这一结论其实也符合 B=0 的情况。
综上，我们得到以下结论：
对于任意直线 l:Ax+By+C=0 和椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1，都有：
\text{相交}&\Delta' > 0\\
\text{相切}&\Delta' = 0\\
\text{相离}&\Delta' < 0
\end{cases}
其中 \Delta' = A^2 a^2 + B^2 b^2 - C^2
深入
接着由于提前颓废数学不会很多圆锥曲线的二级结论
然后我就寻思不会了呀，然后闲来无事
所以我尝试康康对于双曲线是怎么样的
简单而言就是：
求直线 l:Ax+By+C=0 和双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 的交点情况
很明显这个只是双曲线的一种情况（交点在 x 轴上），但是我们事后可以利用一些变换
十分明显对于 B=0 的情况还是和前文一样，只不过要变成：
\text{相交}&-\frac{C}{A} \notin \left(-a,a\right)\\
\text{相切}&-\frac{C}{A} = \pm a\\
\text{相离}&-\frac{C}{A} \in \left[-a,a\right]
\end{cases}
化简条件后：
\text{相交}&C^2 > A^2 a^2\\
\text{相切}&C^2 = A^2 a^2\\
\text{相离}&C^2 < A^2 a^2
\end{cases}
正题情况 2，B\neq0
还是由直线 l 方程有：y=-\dfrac{Ax+C}{B}
还是生硬代入得到：\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{\left({\dfrac{Ax+C}{B}}\right)^2}{b^2}=1
写好看点得到：\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(Ax+C)^2}{B^2 b^2}=1
照旧化简：
\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{A^2 x^2}{B^2 b^2}-\dfrac{2ACx}{B^2 b^2}-\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0
\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)x^2-\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x-\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0
我们成功得到了一个一元二次方程
哦不对不对，这个不一定是一个一元二次方程
情况 2.1，\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}=\dfrac{2AC}{B^2 b^2}=0
很简单啊，条件转化为：\begin{cases}
B^2 b^2 = A^2 a^2\\
AC=0\\
\end{cases}
结果等式变为：\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1=0
也就是：C^2 + B^2 b^2 = 0
如果方程成立
则有 C=Bb=Aa=0
显然在双曲线方程里看出：a,b\neq0
所以有 A=B=C=0
这还是个der的直线方程啊，直接舍去
所以这个东西一定不成立，此时无解
情况 2.2，\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}=0 \bigwedge \dfrac{2AC}{B^2 b^2}\neq0
很简单啊，条件转化为：\begin{cases}
B^2 b^2 = A^2 a^2\\
A,C\neq0\\
\end{cases}
结果等式变为：-\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x=\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1=\dfrac{C^2+B^2 b^2}{B^2 b^2}
有 x=-\dfrac{C^2+B^2b^2}{2AC}=-\dfrac{C^2+A^2a^2}{2AC}=-\dfrac{C}{2A}-\dfrac{A}{2C}a^2
就这一个解
情况 2.3,\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\neq0
所以有 A^2a^2\neq B^2b^2
自信写出 \Delta：
\Delta=\left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1\right)
自信化简：
\Delta
&=\dfrac{4A^2C^2}{(B^2 b^2)^2}+4\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1\right)\\
&=\dfrac{4C^2}{a^2B^2b^2}+\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{4A^2}{B^2b^2}
\end{aligned}
同样自信乘上正数简化
\Delta'=C^2+B^2b^2-A^2a^2
总结以后再写