数学趣题6则&物理趣题6则
myee
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个人记录
Math（60pts）
数学题面是英文的，所以不排除有读错题。
大家一定要好好学英语，否则题面真的看不懂。
由于题目有点久远了，可能有点忘记题意了。
T1（6pts）
给定一个理想硬币，扔若干次直到连续正面朝上 3 次，求期望扔的次数。
T2（10pts）
考虑三次方程
x^3+\square x^2+\square x+\square=0
现在 Alice 和 Bob 要博弈，Alice 依次给出三个数 a,b,c，同时 Bob 会往某个还没填过的空位处填位置。
现在 Alice 希望最后方程有三个不同的整数根，而 Bob 不希望。
双方都足够聪明，谁会赢？给出证明。
T3（10pts）
给定一张所有点度数不超过 3 的简单无向图。
现在你要把点集分为两部分，使得各部分点集对应的导出子图中各点度数不超过 1。
证明总存在合法方案。
T4（14pts）
以下的 \mathbb Z_2 仅表示 \{0,1\} 的简记，不代表 \mathbb Z/2\mathbb Z。
考察 \mathbb Z_2 上的 n 维向量空间 \mathbb Z_2^n。
假设两个 \mathbb Z_2 上的数的异或运算使用 \oplus 表示，而 \mathbb Z_2^n 上的逐维按位异或使用同样的记号。
然后，我们观察的对象是 \mathbb Z_2^n\rightarrow\mathbb Z_2 的任意函数 F。
最后，我们假设有一个 \mathbb Z_2^n 上的均匀随机变量 \mathbf M，且规定 m_j 为 \mathbf M 的第 j 维分量。
这个是整体的背景。
T4-1（4pts）
考虑 S\subseteq\{1,2,\dots,n\} 与函数 \chi_S:\mathbb Z_2^n\rightarrow\mathbb\{-1,1\}。
对于 \mathbb Z_2^n 上的元素 \sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n)^{\mathrm T}，规定 \chi_S(\mathbf\sigma)=\prod_{j\in S}(-1)^{\sigma_j}。
证明如下命题：
(1).
\forall\sigma,\sigma'\in\mathbb Z_2^n,\chi_S(\sigma)\chi_S(\sigma')=\chi_S(\sigma\oplus\sigma')
(2).
\forall\sigma\in\mathbb Z_2^n \land\sigma\neq\mathbf0,\sum_{S\subseteq\{1,2,\dots,n\}}\chi_S(\sigma)=0
T4-2（5pts）
参照第一问的定义，证明
\mathrm P[F(\mathbf M)=\mathop{\Large\oplus}\limits_{j\in S}m_j]-\mathrm P[F(\mathbf M)\neq\mathop{\Large\oplus}\limits_{j\in S}m_j]=\frac1{2^n}\sum_{\sigma\in\mathbb Z_2^n}(-1)^{F(\sigma)}\chi_S(\sigma)
T4-3（5pts）
证明
\sum_{S\subseteq\{1,2,\dots,n\}}(\mathrm P[F(\mathbf M)=\mathop{\Large\oplus}\limits_{j\in S}m_j]-\mathrm P[F(\mathbf M)\neq\mathop{\Large\oplus}\limits_{j\in S}m_j])^2=1
T5（10pts）
你要和我博弈。
我会想两个不同的实数，并分别写在左右手上。
你需要看我其中一只手（由你指定）上的数字，并猜测和另一只手上的数字的大小关系。
设计一种策略，使得不管我想的两个互异实数是多少，你都有严格大于 50\% 的概率猜对。
T6（10pts）
给定一个矩形。
已知你将其通过一些奥妙重重的方式切割成了若干个矩形，且每个矩形都有至少一条边边长是整数。
证明原矩形存在至少一条边边长是整数。
Physics（60pts）
T1（6pts）
你有一个氢原子，现在你通过一些技术把氢原子外层的电子换成了 $\mu$ 子。
假设原本基态上电子的旋转半径是 $R$，求现在 $\mu$ 子在基态上的旋转半径。
这是道选择题，但是选项忘了。
#### T2（10pts）
使用光学的知识，解释以下问题。
##### T2-1（5pts）
简要解释“天空是蓝色的”和“残阳如血”。
##### T2-2（5pts）
为什么射电望远镜要把半径做的很大？
#### T3（10pts）
匀速行驶的火车上有一个相对火车的理想圆周摆，辐角为 $\theta$。
现在火车变成了 $a$ 的加速度的匀加速运动，而单摆运动则变成了相对火车的辐角为 $\theta'$ 的理想圆周摆。
说明这三个量之间的关系。
#### T4（10pts）
现在有一个电荷密度为 $\rho$ 的导体球，半径为 $R_1$。
内部有个球状空腔，满足半径为 $R_2$，且两球球心间距 $a$。保证 $R_1>a+R_2$。
回答如下问题。
##### T4-1（5pts）
求空腔球心处的场强。
##### T4-2（5pts）
假设无限远处电势为 $0$，求空腔球心处的电势。
#### T5
电磁学题，没看。
#### T6
题面太长了，没看。