HLMO Round I
HL_Lee4974
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个人记录
注意事项
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共4题,题目都不是原创,但都在原题的基础上做了轻微变形.
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卷子结构和题型与高中数学联赛一致,但是难度低很多,AK的同学不要大声喧哗.
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不要求提交过程(只有提交的过程有成绩),解答过程不必很详细,能看懂就行.
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提交解答截止时间是2024/11/9,24:00.
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私信提交解题过程,剪贴板/图片等都可以.
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之后会抽时间写解答发出来.
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对题目有疑问的可以发在评论区里.
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不要在公共场合讨论题目(允许私下讨论)
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题解
题目(共4题,满分180分)
一 (本题满分40分) 如图, ABCD 是平行四边形,分别以 AB , AD 为底边向内作等边三角形 \triangle ABE 和 \triangle ADF ,求证: \triangle CEF 是等边三角形.
二 (本题满分40分) 对奇素数 p ,求证:存在 1,2,\cdots,p-1 的排列 x_1,x_2,\cdots,x_{p-1} 使得 x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{p-2}x_{p-1} 模 p 余 2 .
三 (本题满分50分) 给定正整数 n\ge 4 ,设 x_i(1\le i\le n) 是非负实数,在 \displaystyle\sum_{i=1}^nx_i=1 的条件下,求 \displaystyle\sum_{1\le i<j\le n,\gcd(i,j)>1}x_ix_j 的最大值.
四 (本题满分50分) 现有 1,2,\cdots,4974 的一个排列,每次对其进行如下操作:选择一个不在第 k 个位置上的元素 k ,将其取出并插入到原来序列第 k 个位置的元素的前面(例如 4,2,5,1,3 不能对 2 操作,但可以对 1 操作变成 1,4,2,5,3 ).是否存在一个初始状态和一个操作方案能够无限操作下去?