《高等数学》第一章总练习题选做

1. 求解下列不等式： (1) $\displaystyle \left| \frac{5x-8}{3}\right| \geq 2$ 解：$\displaystyle \Leftrightarrow \left| x-\frac{8}{5}\right| \geq \frac{6}{5} \Leftrightarrow x\in \left( -\infty ,-\frac{2}{5}\right] \cup \left[\frac{14}{5} ,\infty \right)$ (2) $\displaystyle \left| \frac{2}{5} x-3\right| \leq 3$ 解：$\displaystyle \Leftrightarrow \left| x-\frac{15}{2}\right| \leq \frac{15}{2} \Leftrightarrow x\in [ 0,15]$ (3) $\displaystyle |x+1|\geq |x-2|$ 解：$\displaystyle \Leftrightarrow |x-( -1) |\geq |x-2|\Leftrightarrow x\geq \frac{1}{2}$ 2. 设 $\displaystyle y=2x+|2-x|$，试将 $\displaystyle x$ 表成 $\displaystyle y$ 的函数。 首先改写为 $\displaystyle y=\begin{cases} x+2 & x\leq 2\\ 3x-2 & x >2 \end{cases}$ 于是有 $\displaystyle x=\begin{cases} y-2 & y\leq 4\\ \frac{y+2}{3} & y >4 \end{cases}$ 3. 求出满足不等式 $\displaystyle \sqrt{1+x} < 1+\frac{1}{2} x$ 的全部 $\displaystyle x$。 首先需要 $\displaystyle x\geq -1$，然后 $\displaystyle \Leftrightarrow 1+x< 1+x+\frac{1}{4} x^{2} \Leftrightarrow x^{2} >0\Leftrightarrow x\neq 0$，因此解集为 $\displaystyle [ -1,0) \cup ( 0,+\infty )$ 5. 设 $\displaystyle f( x) =\frac{|2+x|-|x|-2}{x}$ (2) 将 $\displaystyle f( x)$ 表为分段函数 解：$\displaystyle f( x) =\begin{cases} \frac{-4}{x} & x\leq -2\\ 2 & -2< x< 0\\ 0 & x >0 \end{cases}$ (3) 当 $\displaystyle x\rightarrow 0$ 时，是否有极限？ 没有，左右极限不相等。 (4) 当 $\displaystyle x\rightarrow -2$ 时，是否有极限？ 有，极限为 $\displaystyle 2$。 6. 设 $\displaystyle f( x) =\left\lfloor 7x^{2} -14\right\rfloor $。 (2) $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处是否连续？ 是，取值为 $\displaystyle -14$，两侧极限也为 $\displaystyle -14$。 (3) $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle x=\sqrt{2}$ 处是否连续？ 否，取值和右极限为 $\displaystyle 0$，但左极限为 $\displaystyle -1$。 7. 设两常数 $\displaystyle a,b$ 满足 $\displaystyle 0\leq a< b$，对正整数 $\displaystyle n$ 证明 (1) $\displaystyle \frac{b^{n+1} -a^{n+1}}{b-a} < ( n+1) b^{n}$ 解：$\displaystyle \mathrm{l.h.s.} =b^{n} +b^{n-a} a+\cdots +a^{n} =b^{n}\left[ 1+\frac{a}{b} +\left(\frac{a}{b}\right)^{2} +\cdots +\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\right] < b^{n}[ 1+1+\cdots +1] =b^{n}( n+1)$ 8. 对正整数 $\displaystyle n$，令 $\displaystyle a_{n} =\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n} ,b_{n} =\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$，证明 $\displaystyle a_{n}$ 单调上升，$\displaystyle b_{n}$ 单调下降，并且 $\displaystyle a_{n} < e< b_{n}$。 解：$\displaystyle a_{n} =\sum _{k}\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n}\right) \cdots \left( 1-\frac{k-1}{n}\right)$，故 $\displaystyle a_{n+1} -a_{n} =\sum _{k}\left[\left( 1-\frac{1}{n+1}\right) \cdots \left( 1-\frac{k-1}{n+1}\right) -\left( 1-\frac{1}{n}\right) \cdots \left( 1-\frac{k-1}{n}\right)\right]\frac{1}{k!}$，由 $\displaystyle 1-\frac{j}{n+1} >1-\frac{j}{n}$ 可知$\displaystyle k\geq 1$ 的每一项 $\displaystyle >0$，因此总和 $\displaystyle =a_{n+1} -a_{n} >0$，也就有 $\displaystyle a_{n} < a_{n+1}$。 考虑令 $\displaystyle x=1+\frac{1}{n-1} ,y=1+\frac{1}{n}$，有 $$ ( n+1) y^{n} < \frac{x^{n+1} -y^{n+1}}{x-y} $$ 化简得 $\displaystyle nb_{n} < n^{2} b_{n-1} -n( n-1) b_{n}$，也就有 $\displaystyle b_{n} < b_{n-1}$。而我们知道 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty } a_{n} =\lim _{x\rightarrow +\infty } b_{n} =e$，而 $\displaystyle \{a_{n}\} ,\{b_{n}\}$ 分别单调递增，单调递减。因此 $\displaystyle a_{n} < e< b_{n}$。 9. 求极限 $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots \left( 1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ 解：$\displaystyle =\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{( 2-1)( 2+1)}{2^{2}} \cdots \frac{( n-1)( n+1)}{n^{2}} =\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{( n-1) !( n+1) !}{2n!^{2}} =\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{2n} =\frac{1}{2}$。 13. 证明：函数 $\displaystyle f( x) =\frac{1}{x}\cos\frac{\pi }{x}$ 在 $\displaystyle x=0$ 的任意邻域内都无界，但 $\displaystyle x\rightarrow 0$ 时，$\displaystyle f( x)$ 不是无穷大量。 考虑 $\displaystyle x$ 取全体 $\displaystyle \frac{1}{1} ,\frac{1}{2} ,\dotsc ,\frac{1}{n} ,\dotsc$ 时，$\displaystyle f( x) =n\cos n\pi$ 取值为 $\displaystyle -1,2,-3,\dotsc ,( -1)^{n} n,\dotsc $是无界的，且上下均无界，因此不是无穷大量。 14. 证明：$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty } n\left( x^{1/n} -1\right) =\ln x$ 解：考虑函数 $\displaystyle y( n) =x^{1/n} -1$，那么 $\displaystyle n=\frac{\log x}{\log( 1+y)}$，原极限 $\displaystyle =\log x\cdot \lim _{y\rightarrow 0}\frac{y}{\log( 1+y)}$，而 $$ \begin{aligned} \lim _{y\rightarrow 0}\frac{y}{\log( 1+y)} & =\lim _{y\rightarrow 0}\left(\log( 1+y)^{1/y}\right)^{-1}\\ & =\left[\log\lim _{y\rightarrow 0}( 1+y)^{1/y}\right]^{-1}\\ & =[\log e]^{-1}\\ & =1 \end{aligned} $$ 15. 设 $\displaystyle f( x) ,g( x)$ 是在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上定义的连续函数，且在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的取值相同，证明 $\displaystyle f=g$。 由 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 的稠密性，任取 $\displaystyle x_{0}$ 有有理数列 $\displaystyle a_{n}$ 以 $\displaystyle x_{0}$ 为极限，那么 $\displaystyle f( x_{n}) =g( x_{n})$ 因此具有相同的极限，也就说明 $\displaystyle f( x_{0}) =g( x_{0})$，$\displaystyle x_{0}$ 可以任取所以 $\displaystyle f=g$。 17. (2) 证明 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{e^{x+a} -e^{a}}{x} =e^{a}$ 解：$\displaystyle =e^{a}\lim _{x\rightarrow 0}\frac{e^{x} -1}{x} =e^{a}\lim _{y\rightarrow 0}\frac{y}{\log( 1+y)} =e^{a}$，后者已在 14 题中证明。 20. 设 $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle [ a,b]$ 上连续，又设 $\displaystyle \eta =\frac{1}{3}[ f( x_{1}) +f( x_{2}) +f( x_{3})]$，其中 $\displaystyle x_{1} ,x_{2} ,x_{3} \in [ a,b]$。证明存在一点 $\displaystyle c\in [ a,b]$ 使得 $\displaystyle f( c) =\eta $。 解：由反证法可知有 $\displaystyle f( x_{i}) \leq \eta $，有 $\displaystyle f( x_{j}) \geq \eta $，如 $\displaystyle i=j$ 那么 $\displaystyle c=x_{i}$ 即可，否则考虑 $\displaystyle [\min( x_{i} ,x_{j}) ,\max( x_{i} ,x_{j})] \subseteq [ a,b]$，$\displaystyle f$ 在其上连续，因此由介质定理可知 $\displaystyle c$ 的存在性。 21. 设 $\displaystyle y=f( x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，而 $\displaystyle y=g( x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 附近有定义，在 $\displaystyle x_{0}$ 不连续。问 $\displaystyle kf( x) +lg( x)$ 是否在 $\displaystyle x_{0}$ 连续。 若 $\displaystyle l=0$，那么 $\displaystyle =kf( x)$ 是连续函数，否则设 $\displaystyle h=kf+lg$，有 $\displaystyle g=\frac{h-kf}{l}$，$\displaystyle g$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 连续 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle h$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 连续。说明连续当且仅当 $\displaystyle l=0$。 22. 证明狄利克雷函数处处不连续。 在每个点都可由 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 以及 $\displaystyle \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ 进行逼近，但两种逼近方式极限不同，因此每个点都不存在极限，也就不连续。 23. 求出下列极限 (1) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(\frac{1+x}{1+2x}\right)^{|x|}$ 解：$\displaystyle =\frac{\lim\limits _{x\rightarrow \infty }\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}}{\lim\limits _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1/2}{x}\right)^{|x|}} =\frac{0}{e^{1/2}} =0$。 (2) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }(\arctan x)\sin\frac{1}{x}$ 解：$\displaystyle =\left(\lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan x\right)\sin\left(\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}\right) =\frac{\pi }{2} \cdot 0=0$ (3) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\tan 5x}{\ln\left( 1+x^{2}\right) +\sin x}$ 解：$\displaystyle =\left[\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln\left( 1+x^{2}\right) +\sin x}{\tan 5x}\right]^{-1} =\left[\frac{1}{5} +\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln\left( 1+x^{2}\right)}{\tan 5x}\right]^{-1} =\left[\frac{1}{5} +\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x}{\tan 5x} \cdot \frac{\ln\left( 1+x^{2}\right)}{x^{2}} \cdot x\right]^{-1} =5$ (4) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}\left(\sqrt{x}\right)^{\frac{1}{\sqrt{x} -1}}$ 解：$\displaystyle =\lim _{y\rightarrow 1} y^{\frac{1}{y-1}} =\lim _{z\rightarrow 0}( 1+z)^{1/z} =e$。 24. 设 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle [ 0,+\infty )$ 上连续且 $\displaystyle 0\leq f( x) \leq x$，设 $\displaystyle a_{1} \geq 0$ 是任意数，并假定 $\displaystyle a_{2} =f( a_{1}) ,\dotsc a_{n+1} =f( a_{n})$。试证明 $\displaystyle a_{n}$ 单调递减，且极限 $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty } a_{n}$，若 $\displaystyle l=\lim _{n\rightarrow \infty } a_{n}$，则 $\displaystyle l$ 是方程 $\displaystyle f( x) =x$ 的根，即 $\displaystyle l=f( l)$。 解：由定义，$\displaystyle a_{n+1} =f( a_{n})$ 故 $\displaystyle 0\leq a_{n+1} \leq a_{n}$，右侧得单调递减，左侧得有下界，因此极限存在。由连续函数性质可知 $\displaystyle l=\lim _{n\rightarrow \infty } a_{n+1} =\lim _{n\rightarrow \infty } f( a_{n}) =f\left(\lim _{n\rightarrow \infty } a_{n}\right) =f( l)$，得证。 25. 设 $\displaystyle x_{n+1} =\sin x_{n}$，证明对于任意选定的 $\displaystyle x_{0}$，$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty } x_{n} =0$。考虑 $\displaystyle a_{0} =|x_{1} |=|\sin x_{0} |$ 和函数 $\displaystyle f( x) =|\sin x|$，注意到 $\displaystyle a_{0} \in [ 0,1]$ 且 $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle [ 0,1] \subseteq [ 0,+\infty )$ 上有 $\displaystyle 0\leq f( x) \leq x$，因此存在极限 $\displaystyle f( l) =l$，由于 $\displaystyle l\geq 0$ 时 $\displaystyle f( l) \leq l$，等号成立当且仅当 $\displaystyle l=0$，可知 $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty } a_{n} =0$，也就有 $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty } |x_{n} |=0$，说明 $\displaystyle x_{n}$ 极限也为 $\displaystyle 0$。