数列选讲
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数列选讲
通项公式的求法
观察归纳法
俗称瞪眼大法。
已知数列前若干项，求该数列的一个通项公式时，常用观察归纳法。观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数 n 的内在联系，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式。
公式法
当数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项公式时，只需求出 a_1 与 d 或 a_1 与 q，再代入公式 a_n=a_1+(n-1)d 或 a_n=a_1\cdot q^{n-1} 中即可。
由 S_n 求 a_n
利用 a_n=\begin{cases}S_1, & n=1 \\ S_n-S_{n-1}, & n\geqslant 2\end{cases} 可以求得通项公式 a_n，注意对 n=1 与 n\geqslant 2,n\in\N^* 两种情况进行分类讨论。
累加法
若数列 \left\{a_n\right\} 的递推公式形如 a_{n+1}=a_n+f(n)(n\in\N^*) 且数列 \left\{f(n)\right\} 可求和，通常用累加法求通项公式，其方法如下：
由递推关系可知 a_{n+1}=a_n+f(n)，即 a_2-a_1=f(1)，a_3-a_2=f(2)，a_4-a_3=f(3)，\cdots，a_n-a_{n-1}=f(n-1)。
上式左右两边相加可得
(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+(a_{n-2}-a_{n-3})+\cdots+(a_2-a_1)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+\cdots+f(1)
即
a_n-a_1=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(n-1)
这种方法又被称为逐差法。
累乘法
若数列 \left\{a_n\right\} 的递推公式形如 a_{n+1}=a_nf(n)(n\in\N^*) 且数列 \left\{f(n)\right\} 可求积，通常用累乘法求通项公式，其方法如下：
由递推关系可知 \displaystyle\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n-1)，即 \displaystyle\frac{a_2}{a_1}=f(1)，\displaystyle\frac{a_3}{a_2}=f(2)，\displaystyle\frac{a_4}{a_3}=f(3)，\cdots，\displaystyle\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n-1)。
上式左右两边相乘可得
\displaystyle\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot\displaystyle\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\displaystyle\frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\cdot\cdots\cdot\displaystyle\frac{a_2}{a_1}=f(n-1)\cdot f(n-2)\cdot f(n-3)\cdot\cdots\cdot f(1)
即
\displaystyle\frac{a_n}{a_1}=f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot\cdots\cdot f(n-1)
这种方法又被称为逐商法。
数列求和的方法
求和公式法
就是直接套公式，没啥好讲的。
这里给出一些也许能用上的公式：
正整数前 n 项和的公式：
1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
正整数的平方构成的数列 \left\{n^2\right\} 的前 n 项和公式：
1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
正整数的立方构成的数列 \left\{n^3\right\} 的前 n 项和公式：
1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\Big[\frac{n(n+1)}{2}\Big]^2
倒序相加法
在一个数列 \left\{a_n\right\} 中，若与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，则可用倒序相加法求和。
错位相减法
错位相减法可以用于求解下面的求和问题：已知数列 \left\{a_n\right\} 和 \left\{b_n\right\} 分别是等差数列和等比数列，求数列 \left\{a_n\cdot b_n\right\} 的前 n 项和。
解：设数列 \left\{a_n\cdot b_n\right\} 的前 n 项和为 S_n，等差数列 \left\{a_n\right\} 的首项是 a_1，公差是 d，等比数列 \left\{b_n\right\} 的首项是 b_1，公比是 q，则：
\begin{aligned}
S_n
&=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n\\
&=a_1b_1+a_2b_1q+a_3b_2q^2+\cdots+a_nb_1q^{n-1}\\
\end{aligned}
qS_n=a_1b_1q+a_2b_1q^2+a_3b_1q^3+\cdots+a_nb_1q^n
\therefore S_n-qS_n=a_1b_1+(a_2-a_1)b_1q+(a_3-a_2)b_1q^2+\cdots+(a_n-a_{n-1})b_1q^{n-1}-a_nb_1q^n
由等差数列定义可知 a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_n-a_{n-1}=d。
\begin{aligned}
\therefore(1-q)S_n
&=a_1b_1+db_1q+db_1q^2+\cdots+db_1q^{n-1}-a_nb_1q^n\\
&=a_1b_1+db_1(q+q^2+\cdots+q^{n-1})-a_nb_1q^n
\end{aligned}
$$
S_n=b_1\cdot(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n)=b_1\cdot\frac{n(a_1+a_n)}{2}
$$
当 $q\ne 1$ 时，有
$$
S_n=\frac{a_1b_1-a_nb_1q^n}{1-q}+db_1\cdot\frac{q(1-q^{n-1})}{(1-q)^2}
$$
### 裂项相消法
裂项相消法的基本思想：设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前 $n$ 项和。使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点。
常见的裂项公式：
$$
\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{d}\Big(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\Big)\\[10pt]
\frac{1}{a_na_{n+2}}=\frac{1}{2d}\Big(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+2}}\Big)\\[10pt]
\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\Big)\\[10pt]
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Big)\\[10pt]
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\Bigg[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigg]\\[10pt]
\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+k}}=\frac{1}{k}\big(\sqrt{n+k}-\sqrt{n}\big)\\[10pt]
$$
### 分组求和法
如果一个数列的通项公式可写成 $c_n=a_n\pm b_n$ 的形式，而数列 $\left\{a_n\right\}$、$\left\{b_n\right\}$ 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可采用分组求和法。
### 并项求和法
在数列中有相邻两项或几项的和是同一个常数或有规律可循时，采用并项求和法较简便。