「群论」笔记
YangJZHello
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算法·理论
群论(Group Theory), 主要研究名为「群」的代数结构.
定义
一个群包括一个集合G和对G的二元运算\times, 记为 群(G,\times).
note: 此处的二元运算\times并不表示四则运算中的乘法.
群(G,\times)应满足「群公理」:
- 封闭性: 对于 \forall a,b\in G, 满足 a\times b\in G.
- 结合律: 对于 \forall a,b,c\in G, 满足 (a \times b)\times c=a\times (b\times c).
- 幺元存在性: \exists e\in G, 使得 \forall a\in G, e\times a=a\times e=a. e被称为群(G, \times)的单位元(幺元).
- 逆元存在性: 对于 \forall a\in G, \exists b\in G 使得 a\times b=b\times a=e. b被称为a的逆元, 记作 a^{-1}.
群的衍生结构
半群: 满足封闭性和结合律的代数结构.
幺半群: 满足幺元存在性的半群.
阿贝尔群(交换群): 满足交换律的群.
群的基本概念
群同态
群同态用于关联两个群, 相当于我们在研究集合时使用的函数.
从群(G,\times)到群(H, \ast)的同态是一个函数\varphi :G\rightarrow H, 使得对于\forall a,b\in G, 满足 \varphi(a\times b)=\varphi(a)\ast \varphi(b).
即对于群(G,\times)中的两个元素, 先进行二元运算, 再进行\varphi映射; 与先进行\varphi映射, 再将得到的两个新元素进行对应的二元运算, 这两种途径是完全等价的. 如图:
子群
群(G,\times)的一个子群(H, \times)定义为: H\subseteq G. (子群当然也要满足群公理.)
检验(H, \times)是否为群(G,\times)的子群, 可以使用子群检验法: H\subseteq G, 群(H, \times)是群(G, \times)的子群 \Longleftrightarrow 对于\forall g,h\in H, 满足g^{-1}\times h\in H.
证明子群验证法的正确性
已知: 代数结构(G, \times)是一个群, 集合H\subseteq G.
求证: 对于\forall g,h\in H, 满足g^{-1}\times h\in H 是 代数结构(H, \times)是一个群 的充要条件.
证明:
- 证明其充分性
当对于\forall g,h\in H, 满足g^{-1}\times h\in H时, 令h=g, 则有
e=g^{-1}\times g=g^{-1}\times h\in H
即代数结构(H, \times)满足幺元存在性.
则对于\forall g\in H, 有
g^{-1}=g^{-1}\times e\in H
即代数结构(H, \times)满足逆元存在性.
则对于\forall g^{-1}, h\in H, 有
g\times h={g^{-1}}^{-1}\times h\in H
即代数结构(H, \times)满足封闭性.
而由(G,\times)是一个群可以得到二元运算\times满足结合律.
即代数结构(H, \times)满足群公理, 所以代数结构(H, \times)是一个群.
- 证明其必要性
当代数结构(H, \times)是一个群时, 对于\forall g, h\in H， 由逆元存在性可知
g^{-1}\in H
由封闭性可继续得出
g^{-1}\times h\in H
综上所述, 对于\forall g,h\in H, 满足g^{-1}\times h\in H 是 代数结构(H, \times)是一个群 的充要条件. 子群检验法的正确性得证.
陪集和商集
群(G, \times)的一个子群(H, \times)包含元素g (g\in G) 的左/右陪集定义为
gH=\{g\times h|h\in H\}
Hg=\{h\times g|h\in H\}
令[G:H]表示子群(H,\times)的左陪集数(等价于右陪集数).
一个陪集就是一个等价类, 对于一个确定的子群(H, \times), 所有的左(右)陪集构成G的一个划分.
将所有的左陪集组成的集合称为左商集, 所有的右陪集组成的集合称为右商集.
故[G:H]也表示子群(H, \times)左(右)商集的大小.
共轭
有群(G,\times), a,b\in G, 当 \exists g\in G, 使得g^{-1}\times a\times g=b, 则称元素a与b共轭.
正规子群
若群(G, \times)的一个群(H, \times)在共轭变换下不变, 即对于\forall g\in G, \forall h\in H, 都有g^{-1}\times h \times g\in H, 则称(H, \times)是(G, \times)的一个正规子群. 记作H \lhd G.
正规子群的另一种定义是左右商集相同的子集.
商群
对商集赋予群律, 使一个子群所有的商集构成一个群, 此群称为商群.
阶
群(G,\times)的阶定义为|G|.
群中元素a的阶定义为使a^m=e成立的最小正整数m.
拉格朗日定理
如果(H, \times)是(G,\times)的子群, 那么有
|G|=[G:H]|H|
证明:
由于(H,\times)的所有左陪集构成了G的一个划分, 故G是(H,\times)所有左陪集的并集, 且不同的左陪集必不相交. 而对于\forall g\in G, |gH|=|H|, 所以可以得出 |G|=[G:H]|H|.
生成子群
群(G, \times)的生成子群\langle S\rangle定义为子群(H, \times), 使得S\subseteq H且|H|最小.
集合S称为该生成子群的生成集, S中的元素称为该生成子群的生成元.
参考资料：