矩阵 exp 与常微分方程

· · 科技·工程

前置芝士

问题描述

给定 n 阶方阵 A \in \mathbb{C}^{n \times n}，定义 f: \ \mathbb{R} \to \mathbb{C}^{n} 满足 \forall x \in \mathbb{R}, \ s.t. \ f'(x) = Af(x)。

求证：f(x) = e^{Ax} f(0)。

矩阵 exp

定义

对于 n 阶方阵 A，令

e^A = \sum_{i \in \mathrm{N}} \frac {A^i} {i!}

重要性质

性质：若 A = P^{-1}JP，则 e^A = P^{-1} e^J e^P。

证明：

\begin{aligned}e^A &= \sum_{i \in \mathrm{N}} \frac {A^i} {i!} \\ &= \sum_{i \in \mathrm{N}} \frac {P^{-1} J^i P} {i!} \\ &= P^{-1} \sum_{i \in \mathrm{N}} \frac {J^i} {i!}P \\ &= P^{-1} e^J P \end{aligned}

因此，只要能求得所有 Jordan 标准型的 \exp，便可求得所有矩阵的 \exp。

对角矩阵的 \boldsymbol{\exp}

若 J = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)，显然有

e^J = \mathrm{diag}(e^{\lambda_1}, e^{\lambda_2}, \cdots, e^{\lambda_n})

Jordan 标准型的 \boldsymbol{\exp}

对每个 Jordan Block 分别考虑。

记该 Jordan Block 为 B，其主对角线元素为 \lambda，那么

B_{xy}^k = {k \choose y - x} \lambda^{k - (y - x)}

对每个 x, y 分别处理，令 d = y - x。代回 \exp 的表达式

\begin{aligned} \exp(B)_{xy} &= \sum_{k \ge 0} \frac {1} {k!}{k \choose d} \lambda^{k - d} \\ &= \sum_{k \ge d} \frac {\lambda^{k - d}} {d! (k - d)!} \\ &= \frac {1} {d!} \sum_{k \ge 0} \frac {\lambda^k} {k!} \\ &= \frac {e^\lambda} {d!} \end{aligned}

即

\exp(B)_{xy} = \frac {e^{\lambda}} {(y - x)!}

总结

给定任意矩阵 A，可通过如下几步求得 e^A：

问题解法

设 Jordan 标准型 J = P^{-1} AP。

令 f(x) = Pg(x)，则

\begin{aligned}f'(x) = Af(x) &\iff Pg'(x) = AP g(x) \\ &\iff g'(x) = P^{-1}APg(x) \\ &\iff g'(x) = J g(x) \end{aligned}

对每个 Jordan Block 解若干次常微分方程，再计算 \exp(xJ) 左乘各系数构成的列向量（即 g(0)），并将二者进行比较，发现它们是相等的，即

g(x) = e^{xJ} g(0)

则代回 f(x) = Pg(x)，得到

f(x) = Pe^{xJ}g(0)

当 x = 0 时有 f(0) = Pg(0)，得到

f(x) = Pe^{xJ} P^{-1} f(0)

注意到 xA = P(xJ)P^{-1}，根据矩阵 \exp 的性质得到

f(x) = e^{xA} f(0)

一些思考

  1. 由于本人不是很会抽代，本文使用了常微分方程和 Jordan 标准型的技巧来推 f(x) = e^{Ax} f(0)，可能存在一些抽代相关的方法能直接得到这一点，欢迎大家在评论区分享。

  2. 考虑 f'(x) = Af(x) 的本质：有 \boldsymbol{n} 个方程，第 \boldsymbol{i} 个方程的右端为 \boldsymbol{f'_i(x)}，左端为 \boldsymbol{f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)} 的线性组合。遇到这一类多元常微分方程，可通过计算 e^{xA} 直接解决。