SPFA全解

· · 个人记录

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。 SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。 从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。 很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。

简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。
我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。

spfa的算法思想（动态逼近法）： 设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。 下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的： 、 算法的描述： 算法的描述：

void  spfa(s);  //求单源点s到其它各顶点的最短距离
    for i=1 to n do { dis[i]=∞; vis[i]=false; }   //初始化每点到s的距离，不在队列
    dis[s]=0;  //将dis[源点]设为0
    vis[s]=true; //源点s入队列
    head=0; tail=1; q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值
    while head<tail do {
       head+1;  //队首出队
       v=q[head];  //队首结点v
       vis[v]=false;  //释放对v的标记，可以重新入队
       for 每条边(v,i)  //对于与队首v相连的每一条边
      if (dis[i]>dis[v]+a[v][i])  //如果不满足三角形性质
        dis[i] = dis[v] + a[v][i]   //松弛dis[i]
        if (vis[i]=false) {tail+1; q[tail]=i; vis[i]=true;} //不在队列，则加入队列
    }

最短路径本身怎么输出？ 在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？ 我们定义一个path[]数组，path[i]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path[v]=u，记录的工作就完成了。 如何输出呢？我们记录的是每个点前面的点是什么，输出却要从最前面到后面输出，这很好办，递归就可以了： 

void printpath(int k){
    if (path[k]!=0) printpath(path[k]);
    cout << k << ' ';
}

spfa算法模板(邻接矩阵)：
c++ code:
void spfa(int s){
    for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999; //初始化每点i到s的距离
    dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s;  队列初始化,s为起点
    int i, v, head=0, tail=1;
    while (head<tail){   队列非空
        head++; 
        v=q[head];  取队首元素
        vis[v]=0;   释放队首结点，因为这节点可能下次用来松弛其它节点，重新入队
        for(i=0; i<=n; i++)  对所有顶点
           if (a[v][i]>0 && dis[i]>dis[v]+a[v][i]){  
                dis[i] = dis[v]+a[v][i];   修改最短路
                if (vis[i]==0){  如果扩展结点i不在队列中，入队
                    tail++;
                    q[tail]=i;
                    vis[i]=1;
                }
           }

    }
}