质数定理 - Erdős,Selberg 初等证明
MatchaNeko_nya
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质数定理
\pi(x)\sim \dfrac{x}{\ln x}
下面给出一个简化过的由 Erdős 与 Selberg 于 1949 年给出的证明。
引理 1 (Tatuzawa-Iseki) 设 F 和 G 是定义在 [1,+\infty) 上的函数，且满足
G(x)=\ln x \sum\limits_{n\le x} F(\dfrac{x}{n})
则有
F(x)\ln x+\sum\limits_{n\le x}F(\dfrac{x}{n})\Lambda(n)=\sum\limits_{n\le x}\mu(n)G(\dfrac{x}{n})
证 ~~ 将第一项改写为求和式
F(x)\ln x=\sum\limits_{n\le x}\mathbf{1}_{1}(n)F(\dfrac{x}{n})\ln \dfrac{x}{n}=\sum\limits_{n\le x}F(\dfrac{x}{n})\ln \dfrac{x}{n}\sum\limits_{d|n}\mu(d)
由 Möbius 反演公式，第二项可化为
\sum\limits_{n\le x}F(\dfrac{x}{n})\Lambda(n)=\sum\limits_{n\le x}F(\dfrac{x}{n})\sum\limits_{d|n}\mu(d)\ln \dfrac{n}{d}
因此
F(x)\ln x+\sum\limits_{n\le x}F(\dfrac{x}{n})\Lambda(n)=\sum\limits_{n\le x}F(\dfrac{x}{n})\sum\limits_{d|n}\mu(d)(\ln \dfrac{x}{n}+\ln {n}{d})
可化为
\sum\limits_{n\le x}\sum\limits_{d|n}F(\dfrac{x}{n})\mu(d)(\ln \dfrac{x}{d})
令 l=\dfrac{n}{d}，可化为
\sum\limits_{dl\le x}F(\dfrac{x}{dl})\mu(d)\ln\dfrac{x}{d}=\sum\limits_{d\le x}\mu(d)\ln\dfrac{x}{d}\sum\limits_{l\le \tfrac{x}{d}}F(\dfrac{x}{dl})=\sum\limits_{n\le x}\mu(n)G(\dfrac{x}{n})
原命题得证
\square