海伦公式证明

· · 算法·理论

已知\ \varDelta ABC\ 三边边长分别为\ a,b,c\ ，半周长为\ s。

求证： S_{\varDelta ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}。

::::info[前铺芝士]

:::info[1.平方差公式]

(a-b)^2=(a-b)(a+b)

证明：

\because (a-b)(a+b) = a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2 \therefore a^2-b^2=(a-b)(a+b)

::: :::info[2.完全平方公式] (1)完全平方和：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

证明：

已知一个大正方形的边长为\ a+b，最小的正方形的边长为\ a，较大的正方形的边长为\ b。 a^2 \ \ \ \ ab\ \ \ \
ab \ b^2\
\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(2)完全平方差： (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

证明：

已知一个大正方形的边长为\ a，小正方形的边长为\ b。

b^2 \ \ \ \ (a-b)b\ \ \ \
(a-b)b (a-b)^2
\therefore (a-b)^2=a^2-b^2-(a-b)b-(a-b)b=a^2-b^2-ab+b^2-ab+b^2=a^2-2ab+b^2

::: :::info[3.勾股定理] 在\ Rt{\varDelta ABC}\ 中，若两条直角边长\ a,b，斜边长\ c，则有\ a^2+b^2=c^2。 ::: ::::

设\ \varDelta ABC\ 的高为\ h，交\ AC\ 于点 \ d。

记\ Bd=x，则\ Cd=c-x。

由勾股定理可得\ h^2=a^2-x^2=b^2-(c-x)^2

\begin{aligned} \therefore a^2-x^2 &= b^2-(c-x)^2\\ a^2-x^2 &= b^2-c^2+2cx+x^2 \end{aligned}

得\ x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}

由勾股定理可得

\begin{aligned} h^2 &= a^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c})^2\\ h &= \sqrt{a^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c})^2} \end{aligned} \begin{aligned} S_{\varDelta ABC} &= \frac{1}{2}\cdot ch\\ &= \frac{1}{2}\cdot c \cdot \sqrt{a^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c})^2}\\ \end{aligned}

把\ \frac{1}{2c}\ 提出来

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\cdot c^2 \sqrt{a^2-(a^2+c^2-b^2)^2}\\ \end{aligned}

再把\ c^2\ 乘进去

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(2ac)^2-(a^2+c^2-b^2)^2}\\ \end{aligned}

平方差公式：

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\sqrt{(2ac+a^2+c^2-b^2)(2ac-a^2-c^2+b^2)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(a^2+2ac+c^2-b^2)(a^2-2ac+c^2+b^2)}\\ \end{aligned}

完全平方公式：

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\sqrt{[(a+c)^2-b^2][(a-c)^2+b^2]}\\ \end{aligned}

平方差：

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)}\\ &= \sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{a-b+c}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}} \end{aligned} \because s=\frac{a+b+c}{2} \therefore S_{\varDelta ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

得证